Гиперболические полугруппы операторов. Оценки параметров экспоненциальной дихотомии

• Автор: Романова, Мария Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 94 с.

Оглавление

Список обозначений

Введение
1 Основные понятия и используемые результаты 17 §1.1 Некоторые сведения из теории полугрупп операторов 17 §1.2 Некоторые сведения из теории полугрупп разностных
операторов

2 Классы гиперболических полугрупп операторов и уравнение Ляпунова

§2.1 О разрешимости уравнения Ляпунова

§2.2 Теорема М.Г. Крейна для генераторов некоторых классов полугрупп операторов. Разрешимость уравнения Ляпунова как необходимое и достаточное условие гиперболичности полугруппы операторов
3 Оценки параметров экспоненциальной дихотомии однопараметрических полугрупп и групп операторов

§3.1 Оценки функции Грина, построенной по гиперболической полугруппе операторов

§3.2 Оценки функции Грина, построенной по гиперболической группе операторов

4 О числовой области генератора полугруппы операторов

Список обозначений
N - множество натуральных чисел;
Ъ - множество целых чисел;
Z + = {п Є X : п> 0}:
М - множество вещественных чисел;
М+ = {£ Є К : £ > 0};
Т = {Л Є С : |А| = 1} - единичная окружность; 3 - одно из множеств: М+, М;
А? = Є З X 3 : 5 < £}:
С - множество комплексных чисел;
С" = С х ... х С;
Н - комплексное гильбертово пространство;
Horn (Hi, Hi) - банахово пространство линейных ограниченных операторов (гомоморфизмов), определённых на Н со значениями в
ЕисіН = Ногп(7і, Н) - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в Н;
/ - тождественный оператор в любом из рассматриваемых пространств;
)|Л|| - норма оператора А Є Нот(7і, 'Ні)'
п раз

Б = О (А) - область определения оператора А : Б (А) С Тії 'Н<
О (А) - график оператора А : Б (А) С Ні —> Н2]
Кет-А - ядро оператора А : Б{А) С 'Н —» Тіг;
ІгпА - образ оператора А : Б (А) С Тії —> Нг;
р(А) - резольвентное множество оператора А : Б(А) с 'Н —» 7і
К(-,А) : р(А) —► ЕпсіТі - резольвента оператора А : Б (А) С Н —»

а (А) — С р(А) - спектр оператора А:
г(А) - спектральный радиус оператора А:
и : До —» ЕпсПі - семейство эволюционных операторов.

Функцию Сд называют функцией Грина [25]. Она играет важную роль в представлении решения уравнения Ляпунова, разрешимость которого является необходимым и достаточным условием гиперболичности групп операторов и некоторых классов полугрупп операторов [16].
Теперь перейдём к исследованию уравнения Ляпунова
СА{Х) = А*Х + ХА = Р е ЕпдН, (2.8)
рассматриваемому в банаховой алгебре ЕпсШ. Предполагается, что А : В{А) С Н —> И, - генератор гиперболической полугруппы операторов Т : Е+ —>ЕпсШ. и далее используются соответствующие обозначения.
Под решением уравнения (2.8) понимается оператор 1Т £ ЕпсШ, обладающий свойствами: 1) ¥х € Р(А*): 2) А*¥х + И7Ах = Рх для любого х £ Р(А).
Для исследования существования решения уравнения (2.8) рассмотрим более общий класс уравнений. Пусть 7Д,г = 1,2, - два гильбертова пространства, и А; = В { А, ) С 7ф —> 7Д - два генератора полугрупп операторов Т) : М+ —► ЕпсЩ,',г = 1,2 (класса Со), соответственно.
Пусть Нот{ТС, ТС2) - банахово пространство линейных ограниченных операторов (гомоморфизмов), определённых на 'Н со значениями в 0,2- Введём в рассмотрение трансформатор (терминология М.Г. Крейна)
С : £>(£) с Нот(ПъН2) -> Нотп(Н1,Н2),
СХ = А2Х + ХА1: X £ £>(£),