Некоторые вопросы теории суммирования двойных последовательностей

• Автор: Логунова, Ольга Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Улан-Удэ
• Количество страниц: 119 c. : ил

ВВВДЕНИЕ

ГЛАВА I. Суммирование двойных последовательностей

регулярными матричными методами

§1. Суммирование ограниченных и неограниченных последовательностей

§2. Совместность и включение методов

§3. Регулярные методы, эквивалентные сходимости

§4. Почти сходящиеся двойные последовательности

§5. Транслятивные методы суммирования двойных последовательностей

ПАВА П. Суммирование рядов гармонических функций

§6. Суммирование осесимметричных рядов

§7. Суммирование ряда Далласа методом Миттаг-Леффлера

ЛИТЕРАТУРА
В диссертации развивается теория суммирования двойных последовательностей регулярными матричными методами, которая затем применяется к аналитическому продолжению гармонических функций.
Суммирование последовательностей и рядов находит широкое применение в теории приближений, при построении аналитического продолжения и других вопросах, поэтому исследования в этой области проводятся очень интенсивно. Однако теория суммирования кратных последовательностей остается гораздо менее развитой, чем теория суммирования простых последовательностей, хотя, быть может, она имеет не меньшее значение как в общей теории суммирования, так и в ее приложениях. Точно также аналитическое продолжение сумм кратных рядов при помощи методов суммирования - менее изученная область, чем аналитическое продолжение сумм простых рядов теми же методами. Вце меньше изучено суммирование рядов гармонических функций больше двух переменных.
Диссертация состоит из введения и двух глав. В первой главе, посвященной общей теории суммирования двойных последовательностей, ставится задача выяснить, переносятся ли на регулярные матричные методы суммирования двойных последовательностей основные теоремы теории суммирования простых последовательностей, связанные с вопросами: строение области эффективности метода, совместность методов, условия нетривиальности,

транслятивность методов, почти сходимость двойных последовательностей и ее связь с суммируемостью матричными методами. Во второй главе исследуется возможность аналитического продолжения сумм рядов гармонических функций при помощи суммирования их конкретными методами.
Перейдем к изложению содержания диссертации по параграфам.
В §1 изучается строение области эффективности регулярного матричного метода суммирования двойных последовательностей. Из теорем, характеризующих область эффективности матричного метода суммирования простых последовательностей, мы выделим следующие:
Теорема I (теорема Штейнгауза, [І5І ). Для любого регулярного метода Л-((1тп) существует ограниченная последовательность, которая не суммируется этим методом.
Теорема П (теорема Мазура и Орлича, [7] ). Если Т - матрица Л суммирует какую-либо расходящуюся последовательность, то она суммирует, по крайней мере, одну неограниченную последовательность.
Теорема Ш (теорема И.И.Огиевецкого, [251 ). Для произвольной регулярной матрицы Л-(&пк) /,Л,. - . ), суммирующей
хотя бы одну ограниченную расходящуюся последовательность, найдется такое континуальное множество ограниченных последовательностей, расходящихся одновременно с любой их конечной нетривиальной линейной комбинацией, что каждая последовательность, принадлежащая этому множеству, суммируется данной матрицей.
Теорема ІУ (теорема В.М.Даревского, [із] ). Для любой неограниченной последовательности {Уп[ и любого числа (X можно построить регулярный метод Л- (0-т/1), который суммирует все последовательности вида {суп ■+■ , где С - постоянная, (<У-п}

тсприр^р^ т сп $и,д)
Пусть уже найдено /г- , тогда выберем такое,
что будут справедливы неравенства
I } I
И ‘ (2.6)
^^пт/риР! < £6• при М,Г?Ъ К- у.
тсп(л.<,д<р 1+*

Положим , если тРп(уи,Р)^р ,
> если А < т2п(/^,д)<р<- (£=1,3,~~).
С —
Покажем, что последовательность /э^р} суммируется методом ^ и не суммируется методом
Пусть к. &./псп{т,п)<.к~ ^ .Тогда
/ 00
■^чу7 — ^гпгриР) ^уч) “ ^т/у^и. Р ■^✓Р *
У4Я-1 тсп^
к 2
+(^>/~ %) 2Г Я-тпуиЭ + ХГ ^тп/ыд . Рк, <
Учитывая (2.1), (2.6), (2.4), получаем
!РтР - Нгг-У + / ИатПу,7&р / +
£‘"*’<#л*г„0,й„'Я)