Геометрические и топологические аспекты интерполяционных пространств К-метода Петре

• Автор: Седаев, Александр Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 270 с.

Оглавление
0 Введение

1 Свойства Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости

1 Интерполяция свойств Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости.

1.1 Предварительные сведения

1.1.1 Свойства Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости. Необходимые условия

1.1.2 О сходимости последовательностей вогнутых и квазивогнутых функций

1.2 Свойства банаховой пары, связанные со свойствами

(ШВ) и (КК)

1.3 Интерполяция локальной равномерной выпуклости и

свойства Кадеца-Кли

1.4 Случай К-интерполяционных функционалов Фрр и
1.5 О свойствах (ДС?£) и 1)-г в конкретных парах, теорема
Дэвиса-Госсоба-Линдепштраусса
2 Теоремы о перенормировках, порождающих свойства Кадеца-Кли и локальной равномерной выпуклости
2.1 История вопроса

2.2 Перенормировки интерполяционных пространств, порождающие свойства Кадеца-Кли или локальной равномерной выпуклости
3 Слабая компактность в пространствах Лоренца и теорема Фремлина
3.1 Введение и постановка задачи
3.2 Слабая компактность в пространствах Лоренца
3.3 Критерий компактности в симметричных пространствах и теорема Фремлина
4 О свойствах типа Кадеца-Кли в пространствах измеримых функций
4.1 Постановка проблемы и предварительные результаты
4.1.1 Введение
4.1.2 Предварительные сведения
4.2 Строго К-монотонные симметричные нормы
4.3 Типы представимости 1^ в пространствах Орлича и свойство Кадеца-Кли относительно сходимости по мере
4.3.1 Введнение и педварительные результаты . . .
4.3.2 Условия и типы представимости £°° в Lm . . .
4.3.3 Свойство Кадеца-Кли относительно сходимости
по мере для Ьщ
II Обобщенные пределы и сингулярные симметричные функционалы
5 Сингулярные симметричные функционалы и обобщенные пределы с дополнительными свойствами инвариантности
5.1 Понятие сингулярного симметричного функционала (ССФ)
5.2 Необходимые условия существования ССФ

5.3 Связь с обобщенными пределами

6 Обобщенные пределы на пространствах ограниченных функций
6.1 Аддитивные и мультипликативные пределы Банаха .
6.2 Некоторые подмножества обобщенных пределов и обобщенные пределы с дополнительными свойствами инвариантности
6.3 Аппроксимация пределов Банаха элементами пространства £
7 Сингулярные симметричные функционалы на пространствах Марцинкевича
7.1 Секвенциальный подход к постоению ССФ на пространствах Марцинкевича
7.2 Функциональный подход к построению ССФ на пространствах Марцинкевича
7.3 Полунормы, определяемые сингулярными симметричными функционалами
7.4 Новые классы симметричных пространств, допускающие существование сингулярных симметричных функционалов
8 Измеримость по А. Конну в пространствах Марцинкевича
8.1 Определения и формулировка результатов
8.2 Технические результаты
8.3 Сводка результатов и примеры
9 Обобщенные функционалы Конна-Диксмье и свойство чезаровского предела
9.1 Функционалы Конна-Диксмье на пространствах Марцинкевича

Рассмотрим интегральное преобразование, определенное для х G 1а,оо и а > 0 формулой, связанной с эволюционным процессом распространения тепла

e~1/(tx(s))ads, где с — некоторое положительное число.
Для функции х из слабого L, HKTax есть ограниченная непрерывная функция на [1,оо), в то время как для функции из Lf00 HKTax, вообще говоря, не ограничена. При этом В. Гайярд доказал, что функция М(НКТах) для х G всегда ограничена.
Основные результаты главы 12 собраны в следующей теореме.
Теорема. Пусть х — неотрицательный элемент из Lyj00 и а > 0.
1) Если и; инвариантен относительно М : сн(/) = oj(Mf), V/ G Сь, то
гЦх) = щщи(НКТ„х) = тЛ^и(М(НКТах)).
2) Для любого обобщенного предела 7 G Cj и ui1 = 7 о М справедлива формула
Г»» = Г(Щ7 (МНКТЦх))).
3) Для неотрицательных функций х из слабого Ь и любого обобщенного предела 7 корректно определен след т7(х) и справедлива формула
тДх) = y(a(t,x)) = щщДМ(НКТа(х))).
4) Если для неотрицательной f(s), существует lim^00(HKTaf)(X), то / G Lw, все написанные ниже обычные пределы существуют и для любого со справедливо равенство
тД/) = . Hm (HKTaf)(А) = lim -— f f*{s)ds = lim f*(s)s.
i(1/q:) A-к» r-+oo ln r J1
5) Если в 2) или 3) резгультат не зависит от 7, то 7М следует заме-
нить на обычный lim.
Первоначально утверждение 1) было доказано А. Конном для элементов из слабого Ly. Позже в статье [78] и затем в [18] это утверждение было доказано в предположении, что со кроме инвариантности относительно М дополнительно инвариантен относительно степенного преобразования аргумента фу?гкции. Таким образом 1) обобщает этот результат, а