Операторы классов S2m и их аппроксимативные свойства

• Автор: Ершова, Елена Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Тверь
• Количество страниц: 186 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Вспомогательные утверждения

§1. Общий подход к построению операторов классов бфп

§2. Асимптотические оценки приближения дифференцируемых функций операторами класов

§3. Условие быстрой сходимости операторов класса

§4. Экстремальные операторы класса

Глава 2. Построение быстро сходящихся операторов классов б’гто

§1. Операторы классов 82т, построенные на основе ядра Валле-Пуссена

§2. Операторы классов Б 2т на основе обобщенного ядра Джексона

§3. Оператор класса 5*2 на основе обобщенного ядра Коровкина

Глава 3. Анализ результатов Р. К. Васильева
§1. Пример Бутцера - Штарка
§2. Операторы Васильева
Список литературы
Приложения
Приложение
Приложение
Приложение
Приложение
Приложение
Приложение
Приложение
Приложение
Приложение
Приложение
Приложение 11 Приложение 12 Приложение 13 Приложение 14 Приложение 15 Приложение 16 Приложение
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая работа посвящена построению на основе положительных ядер операторов классов Б2т, где т — 1, 2, 3, и оценке приближения этими операторами дифференцируемых функций.
Как доказал П. П. Коровкин [29] (с. 129), линейные положительные полиномиальные операторы и, в частности, линейные методы суммирования рядов Фурье

Ln{f,x) = J f(x + t)Kn(t) dt =

1 Л Г1 п
= - J f(x + 0 2 + S Ain) cos

где > 0, An = f Kn(t)dt, а£п) — f Кп(t) cos kt dt, не мо-
— 7Г —TV
гут приближать дифференцируемые функции с порядком более высоким, чем О (^2 ), п -Ї оо.
Одним из приемов для улучшения аппроксимативных свойств линейных положительных операторов является построение на их основе операторов классов S<2m, ядра которых 2т раз меняют знак на отрезке [—7Г; 7г].
Их МОЖНО получить, используя положительные ядра {Kn(t)}, следующим образом:
1 f т
Lnm](fix) = —[2Н f(x + t)Kn(t)Y[(cost-cosaitn)dt. (1)
An i=i
Рассматривая такие операторы классов Б^т, П. П. Коровкин доказал [30], что они могут приближать (2т+ 2) раза дифференцируемые функции с порядком О (■ 2,1+2), п —> оо, но не выше.
Будем называть операторы, приближающие дифференцируемые функции с данным порядком, операторами класса Б 2 т с наилучшим порядком аппроксимации (операторами класса S2m с НПА). Проблема построения таких операторов остается открытой, т.к. до настоящего времени их построено чрезвычайно мало. Причиной этого является то, что не существует достаточно простых общих методов построения, пригодных для произвольных положительных ядер;

Для операторов классов б'гт, у которых множители суммирования являются многочленами от к или линейно включают в себя sin — и

cos можно получить асимптотическую оценку приближения дифференцируемых функций, содержащую все главные члены асимптотики и остаточный член, порядок которого сравним с порядком наилучшего приближения.
Получение такой оценки основано на следующих утверждениях С. Б. Стечкина [27, лемма 19 и теорема 10] и Н. К. Бари и С. Б. Стеч-кина [2, лемма 2]:
1) Пусть / 6 С*2тг и tn(x) - тригонометрический полином порядка п такой, что

- функция, сопряженная с f{x).
2) Если, кроме того, числа {еп} таковы, что для некоторого натурального г
Эти неравенства мы будем использовать, полагая, что 1п (ж) - полином наилучшего равномерного приближения функции /, а еп = Еп(/) - величина наилучшего равномерного приближения функции / тригонометрическими полиномами порядка п.
Рассмотрим
||1/'(®) *п(®)|| — &ni 1) 2,... , Єп ^j 0, п У оо.
Тогда для любого натурального к

то функции / и f(x) имеют непрерывные производные г - го порядка и