Операторы и уравнения на функциональном многообразии диффеоморфизмов, связанные с геометрическими методами в механике

• Автор: Баранов, Юрий Станиславович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 90 c. : ил

ГЛАВА I. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ РАССЛОЕНИЙ И ОПЕРАТОРОВ

НА ГРУППАХ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ

§ I, Предварительные сведения о функциональных

многообразиях диффеоморфизмов

§ 2. Векторные расслоения на группе диффеоморфизмов дубля многообразия с краем . . . ,

§ 3. Оператор ортогонального проектирования ZJ

ГЛАВА II. НЕИНТЕГРИРУЕМАЯ СВЯЗЬ НА ГРУППЕ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ ДУБЛЯ И ЛАГРАНШЕВА ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ДЛЯ МНОГООБРАЗИЯ С КРАЕМ

§ I. Оператор и его свойства

§ 2. Проектор Р

§ 3. Построение связи JUj

§ 4. Лагранжева гидродинамическая система

идеальной несжимаемой жидкости, подчиненная
Л““"'' &
связи JZj на 2) I М)
ГЛАВА III. РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛАГРАНЖЕВОЙ ГИДРО -ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ И ТРАЕКТОРИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ГРУППАХ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ
§ I. Регулярность решений лагранжевой гидро
динамической системы идеальной несжимаемой жидкости на многообразии с краем и произвольными внешними силами

§ 2. Механические системы на группах диффеоморфизмов
и регулярность их траекторий
ГЛАВА ІУ. ДВУХТОЧЕЧНАЯ "КОНЦЕВАЯ" ЗАДАЧА ДЛЯ ЛАГРАНЖЕ -ВОЙ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИД
КОСТИ
§ I. Двухточечная "концевая" задача для решений лагранжевой гидродинамической системы идеальной
несжимаемой жидкости
§ 2. Двухточечная "концевая" задача для лагранжевой
гидродинамической системы вязкой несжимаемой жидкости
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ Диссертационная работа посвящена одной из новых ветвей современного анализа: теории бесконечномерных многообразий, векторных расслоений и операторов на них. В качестве бесконечномерного многообразия рассматривается группа диффеоморфизмов данного компактного риманова многообразия М . Эта группа интересна тем, что используется при изучении уравнений гидродинамики на основе современного подхода, предложенного В.И.Арнольдом [ I3 , [2] , [46] , и развитого на базе функционального анализа Д.Эбином и Дж.Марсденом [44} , 145]
В течение двух последних десятилетий возникла довольно обширная литература, посвященная изучению группы диффеоморфизмов и связанных с ней объектов. Историю вопроса можно проследить по работам Дж.Иллса [25 3 , С.Смейла и Р. Абрахама (см. [25] , [ 31]), Дж.Лесли [55] и др., в которых исследуется многообразие отображений класса С * ; Х.Элиаесона [54], Р.Пале [б?1 , где определено гильбертово многообразие отображений Соболевского клас-са Н ^ • Дифференциальная структура на группе © с И) соболевеких. Нь -диффеоморфизмов компактного многообразия М без края ($> 27 ЫЙТ1 М + О впервые была определена
Х.Омори [61 ] и Д.Эбином [50]. В работах [44]» [451 введена структура С 00 “ дифференцируемого многообразия на группе Н ^ - диффеоморфизмов компактного многообразия с краем, в том числе, на группе Н 5 - диффеоморфизмов М , сохраняющих рима-нов объем или симплектическую структуру.
Как уже говорилось выше, столь пристальное внимание к многообразию диффеоморфизмов объясняется, во-многом, тем, что оно является подходящим конфигурационным многообразием при лагранже-

твующее этой системе, и доказываем, что его решения, суженные на М , являются решениями уравнения Эйлера идеальной несжимаемой жидкости.
I. Пусть 77 -.ТМ^Т М.ге°Дезическая пульверизация на
_М , индуцированная римановой метрикой на М , гладко продолженной^ М . Если Хб И5СТМ), то И с Х)^
где 7 - ковариантная производная, построенная по римановой метрике на И -а (7,Х) - вертикальный лифт V. X в ТМ
—Г К А
индуцированный естественным вложением I Гй в вертикальную составляющую ГМ [26].
Пусть £ и* Т *0^ с М)ч5у«(Х')-
=ТР^(2-Х) - геодизическая пульверизация течения идеальной несжимаемой жидкости на ? построенная в [44 - 45]. Если X €
то известно [45], что
>5,,Ш = Т( X • Г) • X - (Ря 17Х.XVI) *4 •
В § 3 мы построили , ~ ■ - гладкое правоинвариантное векторное подрасслоение Т©>(И) и оператор проектирования Р Т (■ М с указанными там свойствами. Построим векторное поле ^ з ^^ТЯ.по правилу: £( ~ТРс*5^сХ0» где X € ^ . Легко видеть, что д5 ~ С°° -гладкое <Е)^сМ)- правоинвариантное векторное поле на £Е1
Пусть (Г 27 * сужение канонической проекции
17Г • ~Г 9)^ *2)^сМ>на <Г~Т< . Очевидно, что = Х , откуда Тзг*ТР=П ЗГ. Заметим, что ~Гл ° £ - <~о1 . Действительно, Тзгс^с Х>>=ТхТРЦлХ>)='ВД.сХ> = Х, поскольку /5^у - дифференциальное уравнение второго порядка.
Отметим, что подрасслоение ~Г 7Е7 в Т2' уи по определению [.20] является связью, наложенной на лагранжеву гидродинамическую систему на Ъг (м).