Операторные свойства симметричных пространств

• Автор: Лелонд, Ольга Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 88 с.

Глава I. Основные обозначения и предварительные сведения
Глава II. Вычисление нормы одного оператора в пространствах
Лоренца
Глава III. Мультипликаторы рядов Фурье -Хаара
§ 1. Точные и неточные пары пространств
§ 2. Новый критерий безусловности системы Хаара в
сепарабельном симметричном пространстве
§ 3. Несепарабельность пространств [£,Т]
§ 4. Ограниченность мультипликаторов в пространствах
Лоренца
Библиографический список использованной литературы
Теория симметричных пространств представляет собой одно из важных направлений функционального анализа. Значение этой теории определяется рядом обстоятельств. Многие пространства, рассматриваемые в анализе, являются симметричными (например, пространства Ьр(Т,Ъ,р),
Лоренца, Марцинкевича, Орлича). Теория симметричных пространств служит мощным средством исследования конкретных пространств.
Симметричные пространства появились в работах по интерполяции линейных операторов и гармоническому анализу (см. [11], [25]) в конце 70-х годов. Итоги исследования линейных операторов в симметричных пространствах, и в частности, мультипликаторов по системе Хаара нашли отражение в ряде монографий и статей: [8], [9], [11], [12], [19], [25], [27], [28]. Результаты, связанные с мультипликаторами Фурье -Хаара, находят применение в теории интерполяции линейных операторов.
Диссертационная работа продолжает ряд исследований по теории линейных операторов в симметричных пространствах. Первая часть работы посвящена вычислению нормы специального билинейного оператора, действующего в пространствах р - суммируемых функций и Лоренца. Во второй части диссертации изучаются некоторые свойства симметричных пространств, связанные с мультипликаторами Фурье -Хаара.
Основное содержание диссертации изложено в главах II и III. Им предпослана глава I, в которой собраны основные обозначения и предварительные сведения, используемые в работе.
В главе II рассматривается оператор А, определяемый соотношением

(^x)(?,5r) = jc(0 — дг(^) ,
действующий в симметричном пространстве £[0,1] • Для нормы этого оператора справедлива оценка || А\Е<2.
В теореме 2.1 показано, что в случае, когда E = Lp, норма
оператора А может быть вычислена по формуле
Mlli =2шх(1/рЛ~1/р 1<р<оо.
Пусть (pit) - вогнутая возрастающая непрерывная в нуле функция на
[0,1], ^>(0) = 0. Рассмотрим пространство Лоренца Л(<д) с нормой
11*11^= ]f*(0
Обозначим через Аа пространство Лоренца, построенное по функции IАII» =2“
1 + 3“
Ч У
В общем случае для пространства Лоренца А{(р) оказывается справедливой
Теорема 2.3. Если для некоторого 0 < £ < 1 выполнено
l + e fit) 2’
причём константы эквивалентности зависят только от р и q. Поэтому если

= у, 1<Г<Л<00,

то мультипликатор Л непрерывен из Ьг в Ц. Таким образом, для любого ге(1,1 /у) оператор Л непрерывен из Ьг в Ь5, где М з = Мг-у. К семейству пространств (ЬГ,Ь$), <г<Му, и оператору Л применим интерполяционную теорему 2.6.1 из [11]. В силу этой теоремы оператор
Л непрерывен из СП Е в СП Еу, где
если у<аЕ<РЕ< 1. В частности, Л непрерывен из Ьрг в (Ьрг)г. Согласно [11,2.6.15] пространство (Ер г)г совпадает с Ьдг с точностью до эквивалентности. Если взять г = р, то отсюда вытекает, что Л непрерывен из Ьр в Ьч р
Имеет место следующий критерий точности пары (Ьр,Ьч).
Теорема 3.5. Пусть 1 ц.
Доказательство. Если р<д, то и это вложение является
строгим [25, 2.Ь.9]. Теорема 3.4 показывает, что [Ьр,Ьч]а[Ьр,Ьч р. Обратное включение [Ь ,Ь ]1>[Ь ,Ьд р] очевидно. Следовательно, пространства [Е ,1] и [Тр,Т?р] совпадают с точностью до эквивалентности.
Более того, в силу соотношения (3.1)