Асимтотические ряды для многочленов ортогональных относительно комплексного аналитического веса и приложения к полиномиальным всплескам

• Автор: Хабибуллин, Роберт Флюсович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 89 с. : ил.

1 Асимптотические ряды для полиномов ортогональных относительно комплексного переменного веса

1.1 Введение

1.1.1 Постановка задачи

1.1.2 Основные определения и обозначения

1.1.3 Формулировка основного результата

1.1.4 Краткий обзор метода

1.2 Метод матричной задачи Римана-Гильберта для получения

сильной асимптотики ортогональных многочленов

1.2.1 Матричная задача РиманагГильберта для ортогональных полиномов

1.2.2 ‘ Равновесная мера и функция Сеге

1.2.3 Первое преобразование У —*Т: нормировка матричной

задачи
1.2.4 Второе преобразование Т —* 5: факторизация матрицы скачка и "раскрытие линзы"
1.2.5 Анализ краевой задачи для Б
1.2.6 Постановка вспомогательной краевой задачи в окрестности концевых точек носителя Д
1.2.7 Решение краевой задачи в окрестности концевой точки
с помощью функций Айри
1.2.8 Заключительное преобразование 5 —♦ Л
1.2.9 Рекуррентные соотношения для Гк
1.3 Асимптотика ортогональных полиномов относительно веса кп
1.4 Приложение
1.4.1 Решение предельной задачи (1.40)
1.4.2 Матричная задача Римана-Гильберта и интегральное
уравнение
1.4.3 Вычисление гі
1.5 Примеры
2 Локализация сингулярностей с помощью полиномиальных фреймов
2.1 Введение. Полиномиальные фреймы (рамки)
2.2 Асимптотика фрейм коэффициентов для функции с разрывными производными

Ф 2.2.1 Случай Лагера
2.2.2 Случай Эрмита
2.3 Локализация сингулярностей
2.4 Численные эксперименты
3 Базис Шаудера минимальной степени с обобщенной Чебы-шевской ортогональностью
3.1 Постановка задачи и основные понятия
3.2 Основные идеи построения ортогональных базисов минимальной степени
3.3 Определение базиса
3.4 Оценка констант Лебега

Теория ортогональных многочленов - глубоко исследованная и имеющая широкие приложения область анализа Одной из ключевых проблем данной теории является задача об асимптотическим поведении при возрастании номера п последовательности ортогональных многочленов {Р71/}^=0 Для исследования асимптотических свойств ортогональных полиномов применяются различные методы и приемы (см классическую монографию Сеге [23]) Например, свойства, так называемых, классических ортогональных многочленов подробно исследуются методом Лиувилля - Стеклова, который называется также методом интегро-дифференциальных уравнений В случае, когда для ортогональных многочленов имеют место интегральные представления, применяется метод перевала Метод Дарбу основан на производящих функциях Наиболее универсальным является метод Сеге, который применяется в самых общих случаях Базовыми результатами по асимптотическим свойствам классических ортогональных многочленов являются работы Лапласа, Гейне, Дарбу, Стилтьеса, Сеге, Фейера, Перрона, Планшереля, Ротаха
Современная теория асимптотики многочленов ортогональных относительно комплексного переменного веса была развита Гончаром и Рахмановым (см , например, [1]) В настоящее время эта теория переживает бурный расцвет, являясь не только мощнейшим инструментом в анализе и математической физике, но и находя применения от теории чисел до случайных матричных ансамблей и асимптотической комбинаторике (см , например, доклад Дейфта на Международном конгрессе математиков в Берлине [12]) Комплексные методы исследования сильных асимптотик ортогональных многочленов основаны на краевых задачах для аналитических функций (задачах Римана-Гильберта) Этот подход появился впервые в работах Дж Наттолла в связи с изучением сильных асимптотик многочленов Эрмита-Паде (см обзорную статью [3], а также [4]) В работе С П Суетина [5] подход Наттолла был развит для многочленов, определяемых соотношениями ортогональности на объединении конечного числа Асимметричных дуг в С
где есть корень из многочлена с нулями в концевых точках {с7} дуг, составляющих Р
с весовой функцией вида
Рп{%) = zn + , V = 0, , п - 1 (1)
(2)
s2(z), где з(г) = f(hn,z)hi/2(z) При z -* Ь имеем,
s2(z) = exp | -((z - a)(z - 6))1/2 °k{z - b)k I fc
= exp | — (г — a)1/2 c*(z — 6)*+1/21
I fc=0 J
_ ехр{-(^+^(,-Ь)-|^(г-ьг+ )E;^-^+1/2
= exp | -Co V(b - a) (z - b)1/2 - (ci V(b - a) + ^ ^±r£> (z ~ ь)3/2 ~ }
= 1 - coV(6 - a)(z - 6)1/2 + ieg(6 -a)(z- b)
1 ( 3(2ci (6 — a) + c0) + Co(6 — a)2^ ,,3/2
4 J( ] "

А ряд ДЛЯ Дг будет иметь вид
= 1 + coV(f> - О)(* - Ь)1/2 + ^(Ь - о)(г - Ъ)
1 /3(2С1(Ь - а) + со) + с§(6 - а)Л _ 3/2 + 6 л/(ь - а)
% В дальнейшем удобно будет рассматривать сгруппированные ряды для а2 Т
S2 + -^ = 2 + cl(b-a)(z - Ь) + s2 _ I = _2coV^)(. - &)1'2 - i (3(2с1(6-а) + с0) + С2(6-а)Л (< _ 6)3/2
s2 3 ^ у/(Ъ-а) J
Теперь мы готовы выписывать ряды для Зы, 6ц, ai2, 612, 021, 62i, a22, f>22 1 Р2 1 /З2 S2 1я22
011 - 2^ + Т + 4^2“4^ + W~i0S

- 1 /З2 1 , /З2 В2 1„2
fcl1 = W + T~W^ + ^~W
= К^+^2)+К/з2_й (?+s!
_ 1 /52 1 1 /З2 52 s2 /32s2
a21 “ 2^2 “ у + 2? + IjPs* + 4?~Т + 4/Р ~
w ~02) ~ К'2 - ?)+i +й (?+*2) ’