Приближение семействами линейных полиномиальных операторов

• Автор: Руновский, Константин Всеволодович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 236 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

Глава 1. Сходимость методов тригонометрического приближения

1.1 Общие операторы в пространство функций

удвоенного числа переменных

1.2 Тригонометрические ядра и их свойства

1.3 Семейства линейных полиномиальных

операторов и их свойства

1.4 Критерии сходимости

1.5 Стохастическая аппроксимация

Глава 2. Методы, произведенные классическими ядрами

2.1 Ядра Фейера, Валле-Пуссена и Рогозинского
2.2 Ядра Бохнера-Рисса, Рисса и Зигмунда
2.3 Ядра Блэкмана-Хэмминга
2.4 ЯдраЧезаро
2.5 Ядра Коровкина
2.6 Степени ядер типа (С) и обобщенные
ядра Джексона
2.7 Положительные ядра и сверточные степени
2.8 Таблица сходимости
Глава 3. Неравенства мультипликаторного типа для тригонометрических полиномов
3.1 Общая постановка проблемы и ее частные случаи
3.2 Необходимые и достаточные условия выполнимости
3.3 Преобразование Фурье некоторых функций
3.4 Неравенства, произведенные однородными функциями
3.5 Неравенства, произведенные гладкими функциями
3.6 Оценки преобразования Фурье нормами

в пространствах Бесова
Глава 4. Обобщенные К-функционалы и их реализации
4.1 Операторы и пространства, порожденные однородными мультипликаторами
4.2 Обобщенные К-функционалы и их свойства
4.3 Реализации обобщенных К-функционалов и
их свойства
Глава 5. Качество приближения посредством семейств в терминах реализаций
5.1 Оценки сверху
5.2 Оценки снизу
5.3 Эквивалентности
5.4 Семейства Фейера, Рогозинского, Рисса,
Бохнера-Рисса и Зигмунда
5.5 Семейства, соответствующие гладкостям
нечетных порядков
Приложение. Прямая теорема теории приближений
на классах Орлича
Список цитированной литературы

ВВЕДЕНИЕ
Классическая теория тригонометрической аппроксимации посвящена вопросам приближения непрерывных или, по крайней мере, интернируемых функций. Основной шкалой пространств, таким образом, традиционно являлась шкала Ьр. где 1 < р < +оо. Созданием и изучением приближающих конструкций в этих пространствах занимались выдающиеся математики 19 и 20-ого веков, такие как Л. П. Чебышев, А. Лебег, Д. Джексон, Ш. Валле-Пуссен, Л. Фейер, Ж. Фавар, А. Зигмунд, М. Рисс, С. Н. Бернштейн, С. М. Никольский и другие. Основные результаты классической теории описаны во многих монографиях, книгах и статьях (см., например, [2], [6], [11], [16], [17], [29]-[33], [37], [76], [82], [83]). Отметим при этом, что наиболее распространенными методами приближения периодических функций являлись средние ряда Фурье и интерполяционные средние, построенные с помощью тех или иных тригонометрических ядер, т. е., линейные полиномиальные операторы.
В последние десятилетия появился, однако, целый ряд теоретических и практических проблем, прежде всего в теории дифференциальных уравнений и теории обработки данных и сигналов, в которых потребовалось приближение неинтегрируемых функций, а также численное приближение и интегрирование сильно осциллирующих функций. Таким образом, возникла необходимость распространения результатов теории приближений на случай пространств Ьр, где 0 < р < 1, а также создания новых методов приближения и численного интегрирования, обеспечивающих нужную точность результата без существенного уве-личиния порядка количества узлов интерполяции или кубатуры.
Функции из Ьр при 0 < р < 1 могут быть неинтегрируемыми, поэтому понятие ряда Фурье теряет смысл, а классические методы приближения становятся заведомого непригодными. Проблема оказалась, однако, более глубокой. Дело в том, что для 0 < р < 1 вообще не существует нетривиальных линейных ограниченных функционалов и полиномиальных операторов (см., например, [45]). В силу этого обстоятельства, принципиальный вопрос - "чем приближать" в Ьр при

Теорема 3.18 Пусть р Є На, и Є “Нь, где а > Ь > 0, р(О) = 0 и
р/и не является полиномом на {0}. Тогда
(i) если а > Ь, то неравенство (*) выполняется для р тогда и только тогда, когда д/ {й + а — Ь) < р < +оо;
(ii) если а = Ь, то неравенство (*) выполняет.ся для р тогда и только тогда, когда 1 < р < +оо.
Теорема 3.19 Пусть д = 1, г/(£) = 1, /х(£) = ві • + Єч ■ £+ ,
где Єї, Є2 Є €, 7 > 0. Пусть также 7 ^ М, є + е ф 0 или.
7 Є М, є ф (—І)7£2- Тогда, неравенство (*) выполняется для р тогда и только тогда, когда 1/(1 + 7) < р < +оо, если 7 / 0, и когда 1 < р < +оо, если 7 = 0.
Чтобы привести ряд важных следствий из этих утверждений, напомним определения некоторых дифференциальных операторов, заданных, по крайней мере, па пространстве
г = |і(х) =
вещественнозначных тригонометрических полиномов. В работе рассматриваются
• дифференциальный оператор
рт(Р) = гт ^ а^к ’ (Р’«*(£) = Е є п-) •
keZ^l, | А: 11 =гтг у k&Zd , к1=т )
Его важные частные случаи - смешанная производная Т>к, , к = (кі,..., кф), (см. (18)), оператор Лапласа А и бигармонический оператор Д2, которые производятся соответственно полиномами
-|£|2 и

• степень оператора Лапласа (7 > 0)
(-А)Н(х) = 5] | к ^скеікх . кех*