Некоторые применения метода площадей к классам аналитических функций с квазиконформным продолжением

• Автор: Баранова, Ольга Евгеньевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Тверь
• Количество страниц: 112 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Приведенная логарифмическая площадь и теоремы искажения в некоторых классах р-листных функций
§1. Неравенство площадей для коэффициентов
функций класса 0,оо)
§2. Обобщение на классы ОЛрДД, 0, оо) теорем о вращении и о произведении конформных радиусов
§3. Связь классов 0, оо) с классами С* к(Л, аг,а2)
§4. Теорема искажения в классах С* к(Я, 01,02)
§5. Оценки искажения и вращения в классах р-листных ^-квазиконформных функций

§6. Об искажении в классах квазиконформных функций, обобщающих класс Грунского

Глава 2. Приложения метода площадей к некоторым классам однолистных функций и оценки кривизны линий уровня
§7. Теоремы площадей и классические оценки кривизны линий уровня в классах однолистных функций
§8. Аналоги коэффициентного неравенства Альфорса^
для однолистных функций классов Я(2) и Я^} (оо)
§9. Оценки коэффициентов однолистных функций, зависящие
от радиусов их кругов покрытия. Теоремы покрытия
в классах 5*.(оо) и 5^(ос)

§10. Оценки кривизны линий уровня в классах Е),
Приложение. Численное исследование геометрических образов,
связанных с п-телами коэффициентов однолистных
функций и теоремами покрытия
Заключение
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
В геометрической теории функций комплексного переменного одно из центральных мест занимают вопросы, связанные с решением различных экстремальных задач. Восходящий к Б. Риману вариационный принцип Дирихле, носивший первоначально эвристический характер, впоследствии был строго обоснован Д. Гильбертом и А. Пуанкаре и утвердился во многих других разделах математики. Широкое внимание привлекли две проблемы Л. Бибербаха [28,29], касающиеся точных оценок модулей тейлоровских коэффициентов ап однолистных в единичном круге А функций /, нормированных условиями /(0) = /'(0) -1 = 0 (класс 5), и изучения структуры п-тел коэффициентов £>„(5), п ^ 3.
Проблема модулей алгебраических кривых, также восходящая к Риману, и связанная с ней задача Греча-Тейхмюллера о минимизации коэффициента квазиконформности К(/) в гомотопических классах сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов / римановых поверхностей стали истоком глубокой теории пространств Тейхмюллера. Указанные ключевые проблемы в XX столетии стимулировали развитие эффективных методов аналитического исследования: площадей и контурного интегрирования (Т. Гронуолл, Г. Фабер, Г. Грунский, Н. А. Лебедев, И. М. Милин, Л. Л. Громова [7,8,27,46,47]); вариаций (М. А. Лаврентьев, Г. М. Голузин, М. Шиффер, П. П. Белинский, С. Л. Крушкаль [3,4,6,14,15,19,21]); модулей и экстремальных длин (Г. Греч, О. Тейхмюллер, Л. Альфорс, Дж. Дженкинс, В. А. Зорич, П. М. Тамразов, Г. В. Кузьмина [2,4,24,25,26]); параметрических продолжений и оптимального управления (Ч. Левнер,

что совпадает с (2.7).
Найдем экстремальные функции для правой части (2.7). Из необходимого условия равенства в (2.7) находим = Ь^Ур+1/ = 0, и = 1,2,..., то есть в круге Дд функции £1(2), £2(2) имеют вид
ЬЬ) = Г,(=; =
(2.12)
Равенство в правой части (2.7) дает

4р/г 1п -І

1-А:2 ’

Отсюда находим

2рАгг1пК /0 -шипд
е = б(4е і-«.* ,
— 2ркі1п Л

= ІС-*2.
Стало быть
2рАг(&-}-г) /гЛ 2р/г(Аг + г)
' _ с> і_*
Ь^1) = АД Ь(_2І = ЛІ?
где Л Є С, А / 0. Окончательно для я Є Дд находим
2рАг(/е + г) 2рАг(Аг-)-Ч)
ІВД = 1П^гр, Е2(<г) = АіГ і-** А^О. (2.13)
В кольце ДДд квазиконформные продолжения будем искать в виде
Рг(г) = АД“1***71, Е2(2) = А
> 0, г/ = 1,2, А ф 0.
Из условия непрерывности на окружности <9Дд = {2: : |г| = 7?} находим
(2.14)
2р?г (/г + г) . .
“ +Рв*«РР
даі+/Зі+7іе»‘Р(^1-7і) _ д' 1_^
/л —2рАг(Аг-фг)
да2-/32-72ег<р(-/Зі+72) _ Д !_ь2 Р е~г<рр
(2.15)