Объемы некоторых полуалгебраических множеств

• Автор: Путилина, Анна Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 57 с.

Содержание
Введение

ГЛАВА 1. Асимптотика функции объема множества меньших

значений полинома в К"

§1. Общие формулы

§2. Функция объема для эллиптических полиномов

2.1. Случай однородного полинома

2.2. Случай общего эллиптического полинома

§3. Функция объема для некоторых гиперболических полиномов в К2

§4. Функция объема для эллиптических ростков аналитических функций

ГЛАВА 2. Объемы трубок вокруг аналитических подмножеств

§1. Обобщенные трубки и вариация формулы Вейля
§2. Трубки вокруг комплексных аналитических множеств
Заключение
Литература
Введение
В диссертационной работе речь идет о вычислении объемов некоторых полуал-гебраических множеств, зависящих от вещественного параметра р. Основное внимание уделяется типичной ситуации, когда полуалгебраическое множество задано в виде
Фр = (ж £ 1* : f(x) < р}.
В частности, когда
1{х) = |/i0)|2 + --- + |/p(*)|2,
где /1(2),..., fp(z) - многочлены из С [z-i,..., д„], Фр представляет собой трубку в С" ~ №2п над нулевым множеством, определяемым системой уравнений:
Л(*) = " • = /,(*)= О-
Такие трубки играют важную роль в теории многомерных вычетных потоков [19], [32], [30], [33]. Кроме того, асимптотика функции объема множества Фр тесно связана с числом целых точек в нем (формулы Пика, полином Гильберта-Эрхарта, проблема Гаусса о числе целых точек в круге [12]).
Видимо, исторически первый результат по объемам трубок был получен Г. Вейлем [34]. Он рассматривал несколько иную ситуацию, а именно, брал подмногообразие М С и в каждом нормальном подпространстве NX(M) к подмногообразию М в точке х выбирал евклидов шар Вр(х) с центром в точке х и радиуса р. Под трубкой тр{М) понимается совокупность Вр(х) для всех х € М.

Теорема (Г.Вейль, 1939). Если М С - многообразие размерности п, то функция объема У(тр(М)) является полиномом по р вида:
у(гР(м)) = х>*/'-п+*,

где коэффициенты /и* выражаются через инварианты, построенные по тензору кривизны Римана.
Тем самым функция объема не зависит от вложения М в а зависит только от внутренней геометрии М.
Основная цель диссертации состоит в обобщении теоремы Вейля на случай трубок над аналитическими множествами в или С^, при этом вместо евклидовых шаров в нормальном расслоении берутся множества вида {/(ж) < р}, где / - полином, или росток аналитической функции со свойством /(0) = 0.
Таким образом, эталонной ситуацией является трубка вокруг точки, имеющая вид:
Фр = {х £ М” : /(ж) < р}, или Фр = {х € и0 : /(х) < р},
где ий - некоторая окрестность начала координат в Ж”, а / - полином в первом случае, и росток аналитической функции с единственным нулем в точке 0 6 К" - во втором случае. При этом в первом случае нас интересует поведение функции объема при р —> оо, а во втором - при р —» 0.
В первой главе изучается указанная эталонная ситуация, а во второй главе исследованы трубки над алгебраическими подмножествами в С”.
Напомним, что полином /’ называется эллиптическим, если его старшая однородная составляющая обращается в нуль лишь при х = 0. Основной результат первой главы составляет
Теорема 1.4. Пусть ф(х) = Р(х) + (д(х) ~ эллиптический многочлен, где <3(х) ~ неотрицательный однородный многочлен старшей степени у,

где г — якобиан полярного преобразования (1.28). Внутренний интеграл по г равен
-2 г{р,ч>) 1/1 -1 х

1/1 V
= 2 (V* +Ьо + Ь_ір« + ...J
Поэтому
V(Фр) = a2pd + аїр* + а0 + а~р <*+
(1.30)
где (І2-І - интеграл по р € [0,27г] выражений, полиномиально зависящих от Ь,Ьо,, Ь-і+і- В частности,

0(v)* П Ja) + P2j sin + arctS ff)
Поскольку функции ^Ja'j + /З2 sin ^р + arctg ^) имеют
лишь простые нули в
точках р = —arctg у- + тгЬ, Ь £ Ъ, у = I,... ,к, г Ьт представляют собой рацио-
~ ~ — в ■ I /
нальные функции от Рч_ъ Рд_2,. .., Рч-т+1, П у а] + Р] 81п уР + агс*ё ,
ТО СХОДИМОСТЬ интегралов 02-* будет иметь место при выполнение неравенств (1.25): < р/4 для j = 1,..., к.
Теперь осталось заметить, что при р > 2 интеграл

п {(XjX + (3jy)2lig{x, у)-!
с помощью полярной замены координат представляется в виде
27Г оо

rdrdp
о о гед(ір) П («j cos р 4- /3j sin р)2г/ + 1 1=і
Я Я Я

0 д(<р)* П J<*j + 0j sin (p + arctg g)