О геометрии линейно выпуклых областей и интегральных представлениях в них

• Автор: Кривоколеско, Вячеслав Павлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 69 с.

Содержание
Введение
1 Предварительные сведении
! Некоторые определения, связанные с понятием линейной выпуклости
'2 Интегральная формула Коиш-Фантаипье
2 Линейно выпуклые области с гладкими границами в С"
1 Стягиваемость сечений комплексными прямыми ((.'-выпуклость)
2 Свиль между локально!! и глобальной линейной выпуклостью
3 Гомеоморфность шару линейно выпуклых областей с гладкими границами
3 Интегральные представления в ограниченных кусочно-регулярных
линейно выпуклых областях в С"
1 Смешанные левнаны н формулировка основной теоремы об интегральном представлении
2 Доказательство теоремы 3.
3 Интегральные представления в линейно выпуклых »-круговых полиэдрах
Заключение
Литература
Введение
Данная диссертационная работа посвящена описанию геометрических свойств линейно выпуклых областей с гладкими границами и получению интегральных представлений для ограниченных линейно выпуклых областей с кусочно-регулярными границами.
Понятие линейной выпуклости было введено в середине 30-х годов прошлого столетия в работе Генриха Венке (Henrich Behnkc) и Эрнста Пешля (Ernst Peschl) [22] для областей в С2; их цель была построить комплексный аналог выпуклости, в котором роль опорных гиперплоскостей играли бы комплексные гиперплоскости.
Область D С С" называется линейно выпуклой (локально линейной выпуклой), если для каждой точки z0 G 0D существует комплексно (и — 1)- мерная аналитическая плоскость, проходящая через г0 и не пересекающая D (в некоторой окрестности точки с0.)
Для областей D в С2 (или в проективном пространстве) с дважды гладкой границей Бонке и Пещль [22] указали дифференциальное необходимое и отдельно достаточное условие локальной линейной выпуклости в точке z0 G 8D, а также доказали, что для таких областей из локальной линейной выпуклости следует и их линейная выпуклость. Линейная выпуклость-эго понятие, лежащее между понятиями обычной выпуклости и псевдовыпуклости.
Напомним, что свойство выпуклости дли областей
D = {х = (:гтт) :
с дважды владной границей выражается дифференциальным неравенством, а именно положительной определенностью (I2г/(х) та — сужения второго дифференциала (1'2д(х) на касательную гиперплоскость Та в точке а е дБ. В комплексном пространстве С" — И2п второй дифференциал (вещественный гессиан) представляется в виде
Нк{2', в) — 2(ИсН(г, £) Ь{г,ьУ),% £ С", э £ ^ = .ь’2л.-1 +
где это комплексный гессиан
а £(гЛ)~ форма Леви

Хорошо известно, что псевдовыпуклость области выражается свойством положительной определенности £(г,£) [-у«-сужения формы Леви на комплексную касательную плоскость Тас в точке а 6 ОО. В то же время, как недавно доказал К. Кисельман (С.КтэсЬшш) [27], свойство неотрицательности Нк(~,») | —
сужения формы Яд(с,э) на комплексные касательные плоскости Т£ в точках а £ сШ характеризует линейную выпуклость области. Здесь также любопытно отметить, что форма Леви (отвечающая за пссвдовыпуклость) будет играть существенную роль в интегральных представлениях для линейно выпуклых областей (см. главу 3).
В 60-70-х годах прошлого столетия было продолжено изучение линейно выпуклых областей в С" многими математиками, прежде всего в красноярской школе но комплексному анализу. С одной стороны, глубоко изучалась теория функций в линейно выпуклых областях в статьях Л.А. Айзенберга [1], А. Мартино (А. Маг(шеаи) [29], [30], Л.Л. Макаровой, В.М. Трутнена. С другой стороны, появилась потребность изучения геометрического аспекта понятия линейной выпуклости. В этом направлении прежде всего следует отметить результаты

Рассмотрим теперь случаи ] = р1, -.,рк, а I ф р^...ф. Ф рк-Доказательство приведем для для одного из случаев, а другие рассматриваются аналогично.
Пусть ] =р1> 1, р, < I < Рг+1,г = 2, -Д'
После вычернивании р-1 о столбца и 1-й строки определителя Л* единицы в Мф, будут находиться на местах (1,1), (2,2),...,(р! — 1 ,р{ -1), (м~
1),-,(Р2 - 1,Р2 - 2), (р2 + 1, р2),.~, (/Л- - 1,Рг - 2), (/Л- + 1,Рг),-,(*' - М -
2), (г,г), (1-1,1- 1), где t = рг+ ь Причем 1 ^ р,.+1,...,1 ф рк.
Тогда
/)п ■■■ /р),- /п /|;<г+1 /) Рк
Ьр, ■ ■ ■ !грг /и ./ 2л,+ 1 ••• 1грк
1кр1 /кр 2 ■ ■ ■ /^р,- 1 к1 I крг+1 ■ • - /гл/,
./1 я I /рм /р,г /о /рг+1 ■■■ Фрк
_ ^ /2^1 }?1>1 ■■■ !гр,. /21 /'1р,+1 ■■■ }р>к

= (-1)
■ /- - I
/а.Т1 /кр2 }крг }к1 Л
/и ./ Ц>1 Л и • ■ • /<М
/л Л.>1 /2» 1*Рк
= (-1)^- А1'
/г-1 /кр1 /тр‘2 • ■ * /гр/;
То есть для ] — р) получили, что Мф! = (—. д|г
Аналогично А/,,,2 = (—1)»-‘-1 . А2' и т.д. Получаем, что при ! фр1у...,г ф рк и г — 1,..., к.
А" = • А/,,
(3.15)