Обратная задача для операторов Дирака с неинтегрируемыми особенностями внутри интервала

• Автор: Горбунов, Олег Борисович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 105 с.

Оглавление
Введение
1 Асимптотические и аналитические свойства решений
системы Дирака с неитегрируемой особенностью
1.1 Модельная система Дирака с особенностью внутри интервала
1.2 Возмущенная система Дирака с особенностью внутри интервала
2 Решение обратной задачи
2.1 Свойства спектра
2.2 Теорема единственности
2.3 Основное уравнение обратной задачи
2.4 Процедура решения обратной задачи
3 Необходимые и достаточные условия разрешимости
обратной задачи
3.1 Разрешимость основного уравнения
3.2 Доказательство критерия разрешимости обратной задачи
Литература
Введение
Обратная задача спектрального анализа заключается в определении операторов по некоторым их спектральным характеристикам. Подобные задачи возникают в различных областях естествознания, например, в квантовой механике при определении внутриатомных сил по известным уровням энергии, в радиотехнике при синтезе параметров неоднородных линий передач, в теории упругости при определении размеров поперечных сечений балки по заданным частотам ее собственных колебаний, в геофизике, в метеорологии и т.д. Обратные задачи играют важную роль и при интегрировании нелинейных уравнений математической физики. Интерес к обратным задачам постоянно растет благодаря появлению новых важных приложений в естественных науках, и сейчас теория обратных задач интенсивно развивается во всем мире.
Наиболее полно обратные спектральные задачи изучены для дифференциального оператора Штурма-Лиувилля с суммируемым потенциалом
-у" + я{х)у (0.1)
Основные результаты направлении принадлежат В.А.Амбарцумяну |1|, Г.Бор-гу [2], Н.Левинсону [3], В.А.Марченко [4], [5], И.М.Гельфанду, Б.М.Левитану [6]. В этих исследованиях существенную роль сыграл метод операторов преобразования, который впервые применил В.А.Марченко (4), что позволило помимо теорем единственности получить конструктивную процедуру решения обратной задачи.
Среди систем дифференциальных уравнений важную роль в спектральной теории и ее приложениях играет система Дирака с интегрируемыми коэффициентами
У2(х) + Яи{х)У1{х) + Я2{х)у2(х) = Ау1(ж),
(0.2)
-у(х) + д21(х)у1(х) + д22{х)у2(х) = Ху2(х),
Введение.
или в эквивалентной форме
г[(х) + рп(х)г1(х) +ри(х)г2(х) = гАдДж),
(0.3)
4(х) +р2(х)г1(х) + р22{х)г2{х) = -гХгх{х).
Традиционно систему Дирака в виде (0.2) рассматривают для краевых задач на отрезке и полуоси, а (0.3) используют для задач рассеяния на всей оси. Отметим также, что систему (0.3) часто называют системой Захарова-Шабата ^8)(7] или АКИЭ (М.АЫомДг, Б.Каир, А.КешеИ, H.Segur)[8].
Систему (0.2) удобно рассматривать в одном из следующих канонических видов
У2(х) +Р{х)у1(х) = Ху^х), у2{х) + дф^у^д) + у2(х)у2(х) = Ау^л),

-у[(х) +р2(х)гу2(х) = Ху2(х), -у[{х) + Я2{х)у1{х) - ql (х)у2(х) = Ау2(х).
Систему Дирака в первой канонической форме чаще всего используют при исследовании прямых спектральных задач, а во-второй - при решении обратных.
Этот объект также изучался многими авторами. Следует отметить работы М.Г.Гасымова, Б.М.Левитана [9][10], в которой рассматривается система Дирака на полуоси, в качестве спектральных данных выбрана спектральная функция, доказана теорема единственности, получена процедура решения, описаны необходимые и достаточные условия на спектральную функцию; И.С.Саргсяна [11] (тоже полуось, но система в другом каноническом виде), Т.Н.Арутюняна [12], в которой доказана теорема единственности восстановления системы Дирака по двум спектрам, Асано Н., Като Я.[13), Кокса С., Нобеля Р.[14]. Эти работы также основываются на идее оператора преобразования для системы Дирака.
Системы большей размерности также изучены достаточно полно в работах Шабата А.Б.[15], Билса Р., Коифмана Р.Р.[16], Асано Н., Като Я.[17|, Баева А.В.[18], Зоу К.[19], Маламуда М.М.[20][21].
Много полезной информации по обратным задачам, методам их решения и приложениям можно найти в монографиях М.А.Наймарка [22], В.А.Марченко [23], Б.М.Левитана, И.С.Саргсяна [24][25], В.А.Юрко [26].
Задачи с особенностями на границе области или внутри имеют множество приложений в различных областях естествознания. В частности, широкий класс дифференциальных уравнений с точками поворота сводятся к уравнениям с особенностями.
1.2 Возмущенная система Дирака с особенностью внутри интервала
Следовательно:
|Д>(з)СМ,А)| < 2Лем<2(*)1, при К ах,
И0){х,Ь, А)| < СЩ, А)| при t>ax■
б) пусть х > а, тогда:
7^ит(х’ А)Д1>.^(4А).Р2(4А){/<0>'Г(4, А)<Э(*), при 0 < I < аЛ,
Я<з>(*,*,А)=] -^(0)(^,А)В(1)^1(и)^(а)С/(°>'7’(^А)ВБ(^А) при ал < * < х,
^!7<0>(ж,А)В(2),Р’12(*А)^|^|с/(0)’т(«,А)ДЛ(<)А), при *<4.
Снова используем определение масштаба: при 4 < ал Д(йА)Д2(^А) = (£Л)—2/^, при ад < < ^1(4А^г(4А) = 1,
при ах<х<1 |Д]2(4А) 1 = |е2,Л(‘“х)| < 1, так как 1 - ж > 0 и /тА > 0.
I Вх(хА) I
Учитывая лемму 1.2.1, получим:
|£>(з>(М,Л)| < р^1г2й^1<5(<)1. ПРИ < < «л,
Р<з)(жД,А)| < С|Ц4,А)| при 4 > о.д.
Окончательно:
Я<з>(*. А) =
С|А4| 2Яе^|<5(г)|, при 4 < аЛ,
С|А(4, А)| при 4 > ад.
Используя (1.2.12) и полученные оценки, имеем:
00 ч к
|(^Мл,А)|<с*+1^ + ^1^ Iг*л»№)м +1 Щ,Х)|сй) .

применим лемму 1.2.2 и получим:
со оо к
т)к(х,)<сск^щ + щ1 (№т + №))а+±; ]г^т)^ ,

В силу условий на (д(х) и (^'(х) интегралы конечны, значит можно выбрать

достаточно большое Л0) что при |Л| > Ао НиЛ^Х) А)| < —г.