Обоснование метода квадратур и метода Ньютона-Канторовича для нелинейных сингулярных интегральных уравнений

• Автор: Салех, Мохамед Хуссейн
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Баку
• Количество страниц: 109 c. : ил

ГЛАВА I. ДИСКРЕТНЫЙ СИНГУЛЯРНЫЙ ОПЕРАТОР В ПРОСТРАН-

/ы) <ы)
с* Н,.м и Ц
ратора в 1_

‘■Ч’.м Р

§ I. Модуль непрерывности высшего порядка конечномерного вектора и его свойства

§ 2. Оценка типа Зигмунда дискретного аналога сингулярного оператора с ядром Гильберта

§ 3. Оічраниченность дискретного сингулярного оператора в И%т

§ 4. Оі^раниченность дискретного сингулярного опе-

,(ы)

Глава II. тдаШЕНИЖ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
§ X. 0(5 основание метода квадратур для нелинейных
сингулярные интегральных уравнений в т
§ 2. Оценка скорости сходимости приближенных решений
§ 3. Применение метода Ньютона-Канторовича к приб-лиженному Iрешен» уравнения.Теодоровна в Н.,т
ЛИТЕРАТУРА
Целью данной работы является изучение свойств дискретного сингулярного оператора (д.с.о.) в дискретных аналогах пространств А<у,т и (<р<^)и применение их к обоснованию метода квадратур для приближенного решения одного класса нелинейных сингулярных интегральных уравнений (НСИУ) и модифицированного метода Ньютона-Канторовича для приближенного решения НСИУ Теодор-сена.
Актуальность проблемы. Интенсивное развитие и применение теории НСИУ вызвало необходимость разработки приближенных методов их решения.
Научная новизна работы. В работе впервые:
1) введено понятие модуля гладкости конечномерного вектора, и в их терминах для д.с.о. получены дискретные аналоги оценки Зигмунда-Бари-Стечкина;
2) доказаны теоремы об ограниченности д.с.о. в дискретных аналогах пространств Не* ПЛ и 1-р 0<Р<<*) , в частности, найден дискретный аналог ісласса А.Зигмунда , инвариантного относительно д.с.о.;
3) обоснован метод механических квадратур для одного класса НСИУ с ядром Гильберта в классе т Ї
4) обоснован модифицированный метод Ньютона-Канторовича для НСИУ Теодорсэна в классе Н^,т
Практическая ценность работы обусловлена возможностью применения полученных результатов к численному решению ряда прикладных задач, например, задач об обтекании пористого цилиндра плоско-параллельным потоком идеальной несжимаемой жидкости, об определении дебита нефтяных скважин в плоском пласте при произвольной форме контура питания, а также к задачам конформного отображения.

Методы, используемые при исследованиях - методы теории функций действительного переменного, функционального анализа, теории НСИУ.
Общие вопросы. Первыми исследованиями в теории НСИУ, основоположником которой является А.И.Гусейнов, были работы, в которых задача нахождения функции, конформно отображающей область, близкую кругу, в круг, сведена к НСИУ с ядром Гильберта ( I- IktcxWstrv) и методом последовательных приближений доказано существование и единственность решения в классе Гельдера ( 3-£<ток; S-W^rscUiAsKi, А.И.Гусейнов). Эта теория получила дальнейшее развитие в работах А.И.Гусейнова, В.Погожельского, В.К.Наталевича, Б.Н.Гехта, Д.Пшеворской-Ролевич, A.A.Бабаева, А.М.Абасова, Х.Ш.Мухтарова,
Г.М.Магомедова, А.Назарова и др. и отражена в монографиях В.Погожельского, А.И.Гусейнова и Х.Ш.Мухтарова.
Как уже отмечалось выше, необходимость доведения до числа решений НСИУ, имеющих прикладное значение, поставила задачу о разработке приближенных методов решения этих уравнений. Значительное место среди них занимают метод Ньютона-Канторовича [5,18,19,22,23,32,33,34] , квадратурно-итерационный метод [11,12, 13,14,21J , метод коллокации [10,13] и другие (см.например, [3,9, 15,42J ).
Одним из эффективных методов приближенного решения НСИУ является метод механических квадратур [2,8,35,39,43] , заключающийся в замене сингулярного интеграла соответствующей квадратурной формулой и решении полученной при этом системы нелинейных алгебраических уравнений с последующим обоснованием сходимости процесса.
Впервые обоснование метода механических квадратур для одного класса НСИУ с ядром Гильберта было дано в [2] , а для НСИУ с

Очевидно, что
л" , <*е?
Р, (Ъ^ )

[/(а) = ( ~Се$Ы*)^<&]±: = О^а) - А. $;и л/а „
л
5 (а) г= 21 5* о & ■
N И^
Лемма 1,4.1. Имеет место равенство
2 II
^(г'х) = п КЛ"^~ ' (1-4Л)

Кт^] ' Л £ ° Са>
П' ГЛ- с— V
|/;о
- ядро Фейера.
Доказательство.

п ) *
УГХ)]П
*" ги- /ч, _ г^~' Ы~' -,
Ъ1 г<°„ К- о /У=о ^ и= о
гм г*
1 ТГ и
<3 К
г ТГ 2-лУ-
( 1
п ) АУ С—
6 о
?лМ
1 Л/ И' ТГ лч К- ,
= 7Г 1 ^ ^ оЪг-*) -Т [- 0(1-*)^
П I Д/ <—— к лЛ * /V

гл/—I ,7
2(1-
гы-глу 5=а
2 Л1

Л
и~ N

1 /_ г, У
?ы-' гм

л7 к=

У “ У'У 4 Г- I