Некоторые теоремы жесткости в анализе и геометрии

• Автор: Коробков, Михаил Вячеславович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 163 с.

Оглавление
1 Введение

§1 Общая характеристика результатов работы

§2 Основные обозначения

2 Об одном аналоге теоремы Сарда для С'1-гладких функций

у : О, С Е2 -4 К

§1 Формулировка основного результата главы

§2 Доказательство основного результата главы

3 О необходимых и достаточных условиях на кривую для того, чтобы она являлась множеством значений градиента С1-гладкой функции « : П С К2

§1 Необходимые и достаточные условия (в аналитической форме)

на кривую для того, чтобы она являлась образом градиента
(Д-гладкой функции
§2 Необходимые и достаточные условия на функцию <р для суще-
ствования нетривиальных бД-гладких решений уравнения
¥>(«*)
§3 Существование и непрерывность касательных
§4 Изэнтропические решения дифференциальных уравнений
§5 Доказательства основных результатов
4 Свойства бД-гладких функций и : О С I2 4 I, множество значений градиента которых нигде не плотно
§1 Краткий обзор результатов главы
§2 Доказательства основных результатов
5 Свойства бД-гладких функций V : 12 С К" —> Кт, множество значений градиента которых одномерно
§1 Свойства множеств уровня градиентного отображения

ОГЛАВЛЕНИЕ
§5 Аналог теоремы Сарда
§6 Доказательства основных результатов
6 Однозначная определенность областей
§1 Определение основных понятий
§2 Краткий обзор результатов главы
§3 Предварительные сведения и обозначения
§4 Граничные интервалы: инвариантность и трансверсальность
§5 Инвариантность видимой части касательного конуса
§6 Согласованность картин, видимых различными наблюдателями
§7 Вырожденный случай
§8 Эквивалентность граничных интервалов
§9 Доказательство основной Теоремы
Указатель терминов
Предметный указатель
Литература
Глявэ
Введение
В диссертации установлены теоремы жесткости для С'-гладких решений V : 12 С К" —> Жт дифференциальных соотношений вида
£2и € К в 12, (1-1)
где К — подмножество пространства Мтхп вещественных т х га-матриц. Также в диссертации получен критерий однозначной определенности областей в евклидовых пространствах метрикой на границе, индуцированной внутренней метрикой области.
§1 Общая характеристика результатов работы
Анализ требований гладкости в классических теоремах нередко служит плодотворным источником идей для современной математики, порождая подчас магистральные направления ее развития. Приведем два ярких примера.
Согласно классической теореме Лиувилля, если / : 12 —> К” является конформным отображением класса С3 области 12 С Ж", то / представляет собой сужение на 12 некоторого мёбиусова преобразования. Стремление максимально ослабить требования гладкости в этой теореме привело Ю. Г. Решетника к следующему замечательному результату (см. [36], [38]): всякое отображение / : 12 —> Ж", принадлежащее Соболевскому классу И1ос(12,Мп) и удовлетворяющее дифференциальному соотношению
£2/(ж) 6 К+50(7г) для почти всех (п.в.) х Е 12, (1.2)
является либо постоянным отображением, либо сужением на 12 некоторого мёбиусова отображения. Здесь символом П/(х) обозначается обобщенный дифференциал, а символом >!?0(п), как и принято, обозначается множество ортогональных матриц с определителем 1, соответственно символом Ж+50(п) обозначено множество матриц вида А А, где А > О, А € 50(тг).

ГЛАВА 3. О НЕОБХОДИМЫХ И ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ НА КРИВУЮ
р е ШР1 является а-касательной справа к кривой 7 в точке щ (обозначается р = 7+(uo))i если Для любой последовательности и„ —> щ + 0, такой, что
ЬЫ - т(«о) [ sup sup —f— < оо,
* ue[uo,uv] 1тЫ -тЫ1 имеет место сходимость (понимаемая в естественном смысле)
тЮ - т(г*о)

Аналогично вводится понятие а-касательной у'_(щ) слева в точке «о и просто а-касательной '(щ) в точке щ. Очевидно, что если кривая 7 имеет обычную касательную в точке, то эта касательная будет также и п-касательной. Однако обратное утверждение неверно (это следует, например, из Теоремы 3.1.6 и сформулированной ниже Теоремы 3.3.2).
ТЕОРЕМА 3.3.2. Пусть 7 : К —> Ж — непрерывное инъективное отображение (дуга), и пусть v : Q —> Ш. — С1-гладкая функция па области О С Ж2. Предположим, что выполнены включения (3.1)-(3.2). Обозначим a — inf J, b — sup J. Тогда, помимо свойства (Ti), дуга 7 обладает также следующим свойством:
(Г3) для каждой точки и о £ J существует окрестность V = У(щ) и непрерывная слева функция I : V -А Ж ограниченной вариации такие, что после соответствующей линейной ортонормированнои замены координат2 в плоскости Ж2 справедливы следующие равенства:
Vu 6 V Г) J {6} 7+(u) = (1, l(u + 0)), Vu £ V Г) J {a} y'_(u) — (1, l(u)),
(3.11)
т.е., вышеупомянутые односторонние а-касательные существуют и параллельны векторам (1,1(и + 0)), (1,1(и)) соответственно3. Таким образом, у'+ (и) непрерывна справа в каждой точке и £ J {/;}, а 7!_(и) непрерывна слева в каждой точке и £ J {а}, причем у'+(и) — 7'_(и) = у'(и) для всех точек и £ (а, 6) Еа, где исключительное множество Е„ не более чем счетно.
Теорема 3.3.2 немедленно вытекает из Теоремы 3.1.1 и следующей леммы.
JlEMMA 3.3.3. Пусть непрерывное отображение 7 : Ж —> Ж2 обладает свойством (Г 1) на некотором интервале J С Ж. Предположим, что отображение 7 не постоянно ни на каком интервале. Тогда 7 имеет также свойство (Г3) на J.
23десь окрестность V, функция I и замена координат — те же самые, о которых шла речь в свойстве (Гх)
3Мы обозначаем через 1{и + 0) соответствующий односторонний предел функции I.