Экстремальные задачи теории функций и теории приближений и их приложения

• Автор: Горбачев, Дмитрий Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 200 с.

Обозначения

Глава 1. Экстремальные задачи теории приближений

§ 1.1. Константа Джексона в Ьр на сфере

§ 1.2. Константа Джексона в Ьр на КРОСП

§ 1.3. Неравенство Джексона в пространстве 7Р(2")

§ 1.4. Константа Джексона в 1/2 на гиперболоиде

§ 1.5. Приближение в 7/2 частичными интегралами Фурье

Глава 2. Задачи для целых функций экспоненциального сферического типа

§ 2.1. Основные обозначения и вспомогательные результаты

§ 2.2. Экстремальные задачи типа Черныха-Логана

§ 2.3. Многомерная задача Турана

§ 2.4. Интегральная задача Дельсарта
§ 2.5. Экстремальные задачи на полуоси с весом £2“+1
Глава 3. Экстремальные задачи для функций с малым носителем
§ 3.1. Экстремальная задача Турана для периодических функций
§ 3.2. Экстремальная задача Конягина для периодических функций .... 146 § 3.3. Интегральная задача Конягина и оценки (С, Д)-констант Никольского
Глава 4. Некоторые приложения экстремальных задач
§4.1. Оценки экстремальных расположений точек на торе и в пространстве
§ 4.2. Экстремальные задачи, связанные с оценками мощности кодов
и дизайнов
§ 4.3. Приложения одномерной задачи Турана
I Список литературы
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Z = {0, ±1, ±2,...}, Z+ = {0,1,2,...} и N = {1,2,...} — соответственно множество целых, целых неотрицательных и натуральных чисел; R = (—оо,+оо) и С — множество действительных и комплексных чисел; R+ = [0, +оо) — множество действительных неотрицательных чисел (полуось).
Г(ж) — гамма-функция Эйлера; п = Г(п + 1) (п е Z+); =
= —-——рг (а, Ь € R) — биномиальный коэффициент.
-I- Ь 1) I о 1J
Хп = X х ... х X (п раз) — декартово произведение множеств X.
Rn = [х = (х, Х2 хп): х, Х2, ■ ■ ■, хп € 1} (n € N) — п-мерное
евклидово пространство; ху = ху + х^уч + ... + хпуп — скалярное
произведение векторов х, у € Мп; |яг| = [хх.
Sn~l - {х е Rn: |ж| = 1} — единичная евклидова сфера с центром
ОГ1_1 2тгп/2 в нуле и шп_1 = mes£n 1 = — ее площадь.
I (?г/2)
В — {х е Rn: |х| ^ г} — евклидов шар с центром в нуле и радиу7ТП12 U!
сом г > 0; Vn = volВп = —— = —1 _ объем единичного шара
Г(п/2+1) п
Вп = Щ.
Zn — множество целочисленных векторов ИЗ Жп И Тп = Rn/Zn — = (-1/2,1/2]п — n-мерный тор.
Еа — множество целых функций экспоненциального типа, не большего сг^О, Е(а) = Е2п<7', Е% — подмножество четных действительных функций из Еа, E0(cr) = Eg.
X — метрическое пространство с положительной борелевской мерой dfj.(x).
С(Х) — множество непрерывных функций /: X —» С на X с нормой \f\c(x) = \f\c = sup [/(я?)|, Cr(X) - множество функций с непре-

рывной r-й производной (г е Z+), С°(Х) = С(Х), Ст[а,Ь = Сг([а, Ь}).
LPldii{X) (p ^ 1) _ пространство измеримых функций /: X —> С
!/Р
f{x)p<1ц(х) ) ; если
С КОНеЧНОИ НОрМОИ ||Л|ЬМДХ)
йу(х) — и)(х) (1х, то вместо с1ц в обозначениях используется функция IV (вес); для естественной меры (1/л(х) = (1х пространства X в обозначениях с1ц опускается.
Лу) — 1{х)е{—ху)(1у — преобразование Фурье функции
G Li(Kn), e(t) — e2nit = c(t) + is(t), c(t) = cos(2-Kt), s(t) = sin(27r£).
supp / — носитель функции /: X —> С (замыкание множества точек {х е X: f(x) ф 0}); Хе(%) — характеристическая функция множества Е С X (хе(%) = 1 при х G Е и хе{х) = 0 иначе).
Er{J, X)P'dp — наилучшее приближение функции / 6 LPtdp(X) подпространством размерности, определяемой числом R > 0, ш(5, /,Х)Р4Р (5^0) — ее интегральный модуль непрерывности.
D(5, R, Х)р dp = sup Е/1У( \P’dfi — константа Джексона (0/0
S&LpARX)uö'J'X)p^ здесь понимается как 0).
5ki (к, I € Z) — символ Кронекера (5ц = 1 при к = I и öki = 0 иначе); signa; — знак числа х € R (signa; = 1 при х > 0, signa; = 0 при х = 0 и signa; = -1 при х < 0); [а:] — целая часть числа xGl (наибольшее целое число ^ х).
Ja(x) — функция Бесселя первого рода и порядка а, 0 < qa < < qa2 < ... — ее положительные нули; qa = qa, qaQ = 0.
ja{x) = -- Л(ЕЕ_):1а{х) £ ßl _ н0рМИр0ванная функция Бесселя
(ja (0) = 1).
~ многочлены Якоби, Ci(t) — многочлены Гегенбауэра, KriL'q(t) — многочлены Кравчука.
а-х = о(Ьх) и ах ~ Ъх (х -> а?о) эквивалентно ^ -> 0 и
Од; Ux
(х —> а:о); = 0(ЪХ) (х —» а;о) означает, что (a; € U(xо),
С/(а^о) — некоторая окрестность точки а;0, А > 0 — некоторая постоянная); ах х Ьх (а; -> а;о) эквивалентно Ai^ < ах < Ä2bx (я £ U(xq),
Ai, А2 > 0).

Для случая сферы X = 5,п_1) <1ц(х) = с1а(х). В силу (1.2) в качестве действительного симметричного положительно определенного ядра Д(я, у) можно взять любую зональную функцию

Д(аг, у) = Р(ху) = ^ ВД(*У). (1.14)

для которой
Д0 = | Р(ху)с1а(у) = 1, Рх> 0 (/еП).
5-1
Пусть Д 6 N. Введем неотрицательный многочлен степени 2Д
(Й 1 2
Х>Я(«л№М) =“к(/гтг) (-и«<1). о«>0.
»=0 ' л
Известно, что
Дг(£д)>0 (г = 0,1,., Д — 1),
г+;
Дг(^)Д;(^) = ^ ' <1Х:С^Х;Р^{^), Сцк ^ 0-Н*~Л
т. е. многочлены Гегенбауэра Д удовлетворяют условию Крейна.
Таким образом,

Щ = ^ ЬРМ 2 о (-ЦК1),
, г=° (1.15)
Щ)Рх{{)<1и(Ь)> 0 (1 = 0,1 2Д — 2).
кі = (її
В продолжение этого результата докажем следующее утверждение. Лемма 1.1.4. Для I = 0,1 Д
к ^ (1ХРХ{Ья)ко.
Доказательство. Пусть
д,(0 = д(0 - (Щя) + РКШ - іц)) (і.іб)
— разность между многочленом Гегенбауэра Рі{ї) и касательной к нему в точке Ьц.