Обобщенные интегралы типа Чезаро-Перрона и некоторые их приложения

• Автор: Дергачев, Артем Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 85 с. : ил.

Содержание
Введение

Интеграл Чезаро-Перрона Беркиля

СР-интеграл и проблема восстановления коэффициентов

Дескриптивные характеристики и теорема Марцинкевича

Обзор результатов диссертации

1 Некоторые особенности конструкции Беркиля

1.1 Определение (Д-Р-интеграла

1.2 Связь с производными Пеано

1.3 Некоторые примеры Р-мажорант

2 Производные Чезаро с произвольным ядром усреднения

2.1 Абстрактные ядра усреднения
2.2 Симметричные ядра усреднения
3 С^Р-интеграл
3.1 Свойства С^Р-производных
3.2 Эквивалентность СР-интеграла и (ДР-интеграла
3.3 Слабые мажоранты и миноранты
4 Применения к теории интеграла Беркиля
4.1 О свойствах Коши и Гарнака
4.2 Связь с широким интегралом Данжуа
4.3 Теорема Марцинкевича для С^Р-интеграла
Литература

Введение
Развитие теории действительных функций в начале XX века было во многом обусловлено построением теории меры и интеграла Лебега, по сей день остающейся фундаментом метрической теории функций. Одновременно ставились задачи, для исчерпывающего решения которых общности, достигаемой определением интеграла по Лебегу, оказывалось недостаточно, и возникали другие, более общие определения интеграла, такие как интеграл Данжуа [1], интеграл Перрона [2] и впоследствии интеграл Хенстока-Курцвейля [3]. Эти определения, изначально созданные ради решения задачи восстановления функции по ее точной обыкновенной производной, в свою очередь подвергались естественным модификациям, часто следовавшим за обобщениями понятий предела, непрерывности и производной и позволявшим приписать численное значение определенного интеграла все более широкому классу функций. Иногда, напротив, рассматривались более узкие определения интеграла, позволяющие извлечь больше выгоды из факта интегрируемости тех или иных функций за счет сужения этого класса, пользоваться более удобными свойствами самой операции интегрирования, а также избежать ситуаций противоречия, когда одним и тем же функциям с точки зрения различных определений приписываются различные значения интеграла.
Настоящая диссертация посвящена исследованию свойств одного из обобщений интеграла Перрона, а именно “шкалы интегрирования” Чезаро-Перрона, построенной Беркилем — последовательности определений обобщенных понятий предела, непрерывности, производной и интеграла, занумерованной целым неотрицательным параметром — “порядком усреднения”. Каждое следующее определение в этой шкале является более общим, чем предыдущее, то есть охватывет все более широкие классы функций.
Интеграл Чезаро-Перрона Беркиля
Действительная функция / называется интегрируемой по Перрону на отрезке [а, Ь], если существуют сколь угодно равномерно близкие друг к другу функции Фи ф такие, что нижняя производная функции Ф больше /, а верхняя производная функции ф меньше /; при этом общая нижняя

грань приращений таких “мажорантных функций” Ф и верхняя грань приращений “минорантных функций” ф называется определенным интегралом Перрона функции / на [а, Ь].
Это определение легко поддается модификации за счет подмены используемого в нем понятия производной.
Первоначальное определение интеграла Чезаро-Перрона, или СР-интеграла, соответствующее первому порядку усреднения, было введено Беркилем [4] (1932г.) посредством использования в определении интеграла Перрона “производной Чезаро”
1 rxh
- F(t) dt — F(x)
CDF(x) = lim -------------------- (1)
v л->о h

вместо обыкновенной производной, где интеграл понимается как классический интеграл Перрона. Лишь затем в [5] (1935г.) был введен СкР-интеграл Беркиля любого целого порядка к ^ 1 индукцей по к при помощи чезаровской производной соответствующего порядка, определяемой формулой
f (х + h — t)k~lF(t) dl — F{x)
CkDF(x) = lim ^ , (2)
A-> o h
k--l
где интеграл понимается как С^Р-интеграл; при этом CiP-интеграл совпадает с CP-интегралом, введенным ранее, а правая часть формулы (2) при к = 1 превращается в правую часть формулы (1).
Можно дать эквивалентное определение С^-Р-интеграла при помощи производных Пеано. Получающийся при этом процесс интегрирования, называемый несимметричным Р”-интегралом, сразу восстанавливает функцию по ее пеановской производной порядка п. В таком виде Р"-интеграл был впервые введен Джеймсом в [6, §8]. В [7] продемонстрировано построение теории Рп-интеграла напрямую, без отсылок к свойствам СкР-интеграла Беркиля.
С^Р-интеграл и проблема восстановления коэффициентов
C/tP-интеграл Беркиля относится к классу определений интеграла, введенных с целью решения задачи восстановления коэффициентов всюду сходящихся или суммируемых различными методами тригонометрических рядов по их сумме. Классическим результатом в этом вопросе является теорема дю Буа-Реймона-Лебега-Валле-Пуссена [8].

Глава
Производные Чезаро с произвольным ядром усреднения
Давая определение 1.1.4 чезаровского среднего, мы использовали классические чезаровские ядра усреднения
Однако согласно теореме 1.1.12 для корректности определения достаточно, чтобы ядро усреднения <р принадлежало классу VB/J0,1].
Таким образом, на каждом шаге к ^ 1 построения шкалы интегрирования, когда предыдущее определение интеграла уже дано, у нас есть возможность использовать другое ядро усреднения, требуя от него лишь достаточный класс гладкости, и получить новые определения предела, непрерывности, производной и интеграла Чезаро-Перрона.
В этой главе мы установим некоторые общие факты, справедливые для широких классов ядер усреднения и получающихся из них конструкций.
2.1 Абстрактные ядра усреднения
Определение 2.1.1. Пусть к > 1, функция / определена всюду на отрезке, соединяющем две различные точки х,у £ R, и GVi-P-интегрируема на этом отрезке, а (р принадлежит классу VBfc[0,1]. Введем обозначене
W*,-. у)-- ~■ м jf.* (^) т<*,
Назовем это выражение С^-средним функции / на отрезке от точки х до точки у.