Об условиях голоморфного и гармонического продолжения функций в фиксированную область

• Автор: Ходос, Ольга Вениаминовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 95 с.

Оглавление
Введение
1. Предварительные сведения
1.1. Интегральное представление Бохнера-Мартинслли
1.2. Известные результаты о голоморфном продолжении
1.3. Известные результаты о гармоническом продолжении
1.4. О сходимости кратного степенного ряда в п-круговой области
2. Условия существования голоморфного'' Продолжения СД-функции с гиперповерхности в фиксированную область
2.1. Постановка задачи и вспомогательные результаты
2.2. Производные от интеграла Бохнера-Мартинелли М~/
2.3. Условия голоморфного продолжения СД-функции
3. Условия разрешимости задачи Коши для уравнения Лапласа
в фиксированной области
3.1. Постановка задачи и вспомогательные результаты
3.2. Производные от функции Т(х)
3.3. Условия разрешимости задачи Коши для уравнение Лапласа в К2

Введение
Актуальность темы
На протяжении всего развития теории функций многих комплексных переменных актуальным является вопрос аналитического продолжения [2], [3], [4], [9], [20], [29], [34], [37], [39]. Это связано, прежде всего, со следующим замечательным явлением: в пространстве многих комплексных переменных в отличии от одного комплексного переменного существуют области, из которых любая голоморфная функция непременно продолжается в более широкую область. Благодаря этому факту, задача аналитического продол?кенил получила многочисленные приложения в квантовой теории поля [10].
Одним из главных методов аналитического продолжения является метод интегральных представлений голоморфных функций.
Первым по существу многомерным представлением, в котором интегрирование велось по всей границе области, было интегральное представление Бохнера-Мартинелли (ставшее уже классическим). Оно было получено Е. Мартинелли в 1938 году [50], а затем С. Бохнером в 1943 году [45] независимо друг от друга и разными методами. Эта формула решает задачу восстановления значений функции, голоморфной в ограниченной области с кусочно-гладкой границей, по ее значениям на границе.
С. Бохнером [45] и Ф. Севери [53] были найдены дифференциальные условия голоморфной продолжимости в область гладкой функции, заданной на гладкой связной границе области. Эти условия получили название касателъ-

ных уравнений Коши-Римана, а функции, удовлетворяющие им, назвали CR-функциями. В 1957 году Г. Фикера [46] заменил дифференциальные условия на функцию интегральными. Несколько позже Б.М. Вайнсток [56] получил результат и для области с несвязной границей.
Результаты о продолжении СД-функции со всей границы области стали уже классическими и вошли во многие учебники и монографии по комплексному анализу: [2], [3], [4], [9], [20], [29], [34], [37], [39],
Несколько иной задачей является задача о нахождении условий голоморфной продолжимости в область СД-функции с части границы области. Этой теме посвящена обширная литература (см., например, книги [20], [39], а также статьи [35], [36], [38], [43], [44], [47], [52]). Обычно это голоморфное продолжение осуществлялось в голоморфную оболочку множества, где задана функция.
В 1986-1987 годах вышли работы Г. Лупаччиолу [48], [49], который рассматривал эту задачу для непрерывных СД-функций. В статьях А.М. Кыт-манова [18], [19] эти результаты были обобщены на случай функций класса Ср (см. также книгу [20]).
В начале девяностых годов Л.А. Айзенберг и А.М. Кытманов рассмотрели задачу о нахождении условий голоморфного продолжения в фиксированную область, не являющуюся оболочкой голоморфности. В [5], [6] условия для существования голоморфного продол?кения в область функции, заданной на связном куске ее границы, в явном аналитическом виде были получены для широкого класса областей, в том числе и для ’’усеченного” шара. В этих статьях доказана эквивалентность аналитического продолжения СД-функции и гармонического продолжения интеграла Бохнера-Мартинелли от нее.
Дальнейшее продвижение в этом направлении было сделано в книге JI.A. Айзенберга [42], а также в работах А.М. Кытманова и И.А. Цих [21], [22], И.А. Антиповой [7], H.H. Тарханова [31], [32], [55], JI.H. Знаменской [13],

также сходится равномерно на [0,1] и

£ ш ■ • *||/3|И ■ г°10си Е / 1И1 •■ *р|и •
о П«11^0,||/3||>0 |М|>0,||/3||>0 £
= ^ Са/З
1Н1»О,||0||>О
№ -га^.
При 2 = 1 получим ряд
^2 с«/з • г°^>
1М1>0,||Д||>
сходящийся в £2. Его сумма — неголоморфная часть в интеграле Бохнера-Мартинелли, а сумма ряда
Сага, с„ = са0 (2.3)
||а||>о
— голоморфная часть.
Предложение 2.1. Пусть / — СВ-фунщил. Гармоническое продолжение М~/ из окрестности нуля во весь шар 12 = В(0,1) существует тогда и только тогда, когда существует гармоническое (и, следовательно, голоморфное) продолжение его голоморфной части, задаваемой рядом (2.3).
(Сравни с [6], предложение 1).
Если голоморфная часть М~/ гармонически продолжается из £2“ в £2, то ряд (2.3) сходится в £2. И обратно, если сходимость в £2 есть, то голоморфная часть М-/ гармонически продолжается из £2“ в £2.
Ответ на вопрос о сходимости ряда (2.3) в шаре £2 вытекает из теоремы
1.6, теоремы 1.5 и замечания 1.1. Использую эти утверждения, мы получаем, что ряд (2.3) сходится в шаре £2 тогда и только тогда, когда
Нш ||'1{/|^К(£2) < 1, (2.4)
1НН°о
здесь <2а(£2) = тах га, га = г"1 ... г“". и