Обобщенное преобразование Фурье и его применения

• Автор: Панюшкин, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Орел
• Количество страниц: 86 с.

<# Оглавление

I Обобщенное преобразование Фурье

1.1 Определение и основные свойства обобщенного преобразования Фурье

1.2 Весовые пространства целых функций как множество

^ значений обобщенного преобразования Фурье

1.3 Пространства аналитических функций как множество значений обобщенного преобразования Фурье

1.4 Обобщенное преобразование Фурье в конкретных пространствах

II Применения обобщенного преобразования Фурье

2.1 Применение обобщенного преобразования Фурье к нахождению порядков и типов операторов
ф 2.2 Применение обобщенного преобразования Фурье к нахождению общего вида линейного непрерывного функционала на пространствах векторнозначных функций
® 2.3 Применение обобщенного преобразования Фурье к представлению элементов локально выпуклого пространства
Список литературы
— 3 —
(ф Введение
Для решения разнообразных задач анализа часто применяется преобразование Фурье сопряженного пространства и его обобщения. Пусть Н — отделимое локально выпуклое пространство функций аргумента г, содержащее экспоненты. Оператор Т, действующий на сильно ■ сопряженном к Н пространстве по правилу:
Т{1) = 1(еХг) = <р{), V/ е Я*,

^ называется преобразованием Фурье пространства Я*. В литературе употребляются также и другие названия оператора Т : преобразование Фурье-Лапласа, преобразование Лапласа, преобразование Фурье-Бореля.
Образом преобразования Фурье часто является некоторое пространство целых функций Л. Как правило, оно обладает достаточно "хорошими "свойствами, позволяющими изучать пространства Я и Я*.
К числу наиболее ранних исследований по данной теме относятся ра-боты Л.Эренпрайса [43], [44], [45]. В них рассмотрено, в частности, преобразование Фурье пространства, сопряженного к пространству целых функций Я(С) и установлено, что это пространство является изоморф-^ ным пространству целых функций экспоненциального типа. В дальнейшем Л.Эренпрайс применил преобразование Фурье для введения важного понятия равномерно аналитических пространств и изучения их свойств (см. [42]).
И.М. Гельфанд иГ.Е. Шилов в работе [3] рассмотрели преобразование Фурье пространства обобщенных функций (как функционалов на пространстве основных функций) и применили его к решению задачи Коши в данном пространстве.
® Преобразование Фурье в весьма широком классе весовых пространств целых функций рассматривалось Б.А. Тейлором в работе [48]. В этой же работе преобразование Фурье применяется для решения задач спектрального синтеза и решения уравнений свертки в данных пространствах. В работе Б.А. Тейлора [49] с помощью преобразования Фурье доказана равномерная аналитичность ряда пространств бесконечно дифференцируемых функций действительного переменного.
И.Ф. Красичков применял преобразование Фурье для решения задач спектрального синтеза и описания подпространств, инвариантных относительно оператора дифференцирования в пространствах аналитических функций, (см. [19], [20])
Ю.А.Дубинский эффективно использовал преобразование Фурье для решения задачи Коши в пространствах аналитических функций многих комплексных переменных (см. [11]).
Преобразование Фурье использовалось В.В. Напалковым для решения уравнений свертки ([31]). И.Х. Мусин ([28], [29]) с помощью преобразования Фурье дал описание сопряженных пространств к весовым пространствам бесконечно дифференцируемых функций действительного переменного, О.В. Епифанов ([42]), Н.Ф. Абузярова и P.C. Юл-мухаметов ([2]) - сопряженных пространств к весовым пространствам аналитических функций.
Весьма широкий круг важных задач, для решения которых применялось преобразование Фурье, говорит о необходимости обобщения этого метода. Укажем ряд работ, в которых проводилось обобщение преобразования Фурье в различных направлениях. Наиболее распространенным способом обобщения является использование вместо экспоненты какой-либо другой векторнозначной функции в качестве ядра.
И.С. Елисеев рассмотрел в пространстве, сопряженном к пространству Hr функций, аналитических в круге, обобщенное преобразование

,ф Установим вид функций Np(r). Прежде всего отметим, что они
удовлетворяют рекуррентному соотношению:
. д _ 1 \! ^ (п+ 1)Р , „+1Ч/ ^л(п+1)р+1„ ЛГ /ч
№М) = Е (>-"+1) = Е п, г
п=0 ' п
Покажем по индукции, что А^(г) = С^р(г)ёг, где С}р(г) — многочлен р-Й степени. Очевидно, ЧТО Л^о(^) = ег. Пусть -Ур(г) = С^р(г)ег, тогда
Ир+1 (г) = (п(г))' = (г(5р(г)ег)'
• Яр(г)ег + Г$р{г)ет + г(^р(г)еГ = (3 р+1(г)ег,
где <3р+1(г) = (г + 1)<3р(г) + г^(г).
Из вышеприведенных равенств также следует, что старший коэффициент многочлена (^р+(г) равен старшему коэффициенту многочлена Ор(г). Так как А^о (г) = ег, то старшие коэффиценты всех многоленов £др(г) равны 1.
Проверим выполнение условия (1.4). Зафиксируем произвольное р и оценим ряд
^ СО СО
^ ' |сп(ж)| йр<п = ^ , ^п ^ (1.24)
«=0 п
где числа ар>п по определению равны:
• е^р(г) • ^р(г)ег а„п = шг —-— = 1Ш
г>0 Гп »’>0 Тп
Так как старший коэффициент многочлена С^р(г) равен 1, то для достаточно больших г (начиная с некоторого гр) будет выполняться £2Р(г) < 2гр. ( гр — наибольший неотрицательный корень уравнения С}р(г) — 2гр, или 0, если это уравнение не имеет корней.)
Тогда
£ арп = ы 9Ш < ш < ш( = 2 ш гр-«е
” ’ г>0 гп г>гр Гп г>гр Гп г>гр