Задача об ограниченных решениях и операторные пучки с полиномиально ограниченной резольвентой

• Автор: Печкуров, Андрей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 104 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Пучки умеренного роста

1.1 Функциональное исчисление, порожденное пучком

1.2 Пространство обобщенных вектор-функций Шварца

1.3 Задача об ограниченных решениях в §'

2 Бисекториальные пучки

2.1 Определение бисекториального пучка

2.2 Функция Грина

2.3 Двусторонняя последовательность пространств Сп

2.4 Задача об ограниченных решениях

3 уПбисекториальные и Х-1-бисекториальные пучки
3.1 (—1)-бисекториальный пучок
3.2 У1-бисекториальный пучок
3.3 Х-1-бисекториальный пучок
3.4 Примеры
4 Биограниченные пучки
4.1 Построение разложения единицы
4.2 Полная функция Грина
4.3 Задача об ограниченных решениях
5 Функция Грина, имеющая конечномерный образ
5.1 Полугруппа с конечномерным образом и нулевым спектром
5.2 Полугруппа с конечномерным образом
5.3 Функция Грина, имеющая конечномерный образ
Литература

Введение
Задача об ограниченных решениях состоит в нахождении ограниченного на действительной прямой К решения линейного дифференциального уравнения при условии ограниченности свободного члена. С одной стороны, ее можно рассматривать как разновидность краевых задач, а с другой — как обобщение задачи об асимптотической (экспоненциальной) устойчивости, включающее в себя помимо задачи об устойчивости специальный случай неустойчивости — экспоненциальную дихотомию.
История активного изучения этой задачи берет начало от статьи Перрона [84]. Впрочем, Ю.Л. Далецкий и М.Г. Крейн [22] отмечают, что многие основополагающие результаты в этом направлении были получены на 20-30 лет раньше П. Болем, но они остались незамеченными. В настоящее время результат Перрона является классикой теории обыкновенных дифференциальных уравнений и описан во многих монографиях [22, 23, 26, 33, 42, 67]. Его простейший вариант утверждает, что существование и единственность ограниченного на М решения неоднородного уравнения и' — Аи = / при любой ограниченной правой части / равносильно тому, что спектр коэффициента А не пересекает мнимую ось. В классическом варианте коэффициент А является матрицей, либо линейным ограниченным оператором, действующим в банаховом пространстве.
Настоящая диссертация посвящена уравнению вида
ЕУ -Си = /, (1)
не разрешенному относительно производной. Здесь Е1 и С? — линейные ограниченные операторы, действующие из банахова пространства X в банахово пространство У. За счет того, что область определения X и множество значений У операторов Е1 и С не обязаны совпадать, рассматриваемое уравнение охватывает случай дифференциальных операторов Ей С, которые обычно интерпретируют как неограниченные операторы, действующие из пространства в себя.
Не разрешенное относительно производной дифференциальное уравнение (1) является не только формально более общим, чем уравнение и' — Аи = /. Оно охватывает более широкий класс приложений. Такие дифференциальные уравнения возникают в механике [32, 71, 72, 85], в теории линейных электрических цепей [11, 21, 24, 40, 54, 57] и в теории возмущений [2, 4]. Если оператор Е1 не имеет обратного, уравнение (1),

как мы увидим, обладает несколько иными свойствами, чем уравнение и' — Аи = /.
Дифференциальным уравнениям (1), не разрешенными относительно старшей производной, посвящена обширная литература, см., например, [6, 9, 27, 28, 29, 55, 56, 74, 77, 79, 82]. В основном изучалась начальная задача.
Ограниченность решения и и свободного члена / в разных главах диссертации интерпретируется по-разному. В самом общем виде (глава 1) под ограниченностью понимается принадлежность пространству обобщенных функций Шварца Б'. Более узкая трактовка понятия ограниченности — принадлежность пространству С непрерывных и ограниченных на М функций или пространству Сп непрерывных и ограниченных на М вместе с производными до п-го порядка функций. Также рассматриваются (§ 2.3) пространства Сп с отрицательным п; говоря не совсем точно, они состоят из обобщенных функций, которые после п интегрирований становятся непрерывными. Обсуждается вопрос о связи гладкости решения и и свободного члена /.
Результаты диссертации опубликованы в [43, 44, 48, 49, 50, 51, 52], и докладывались на Воронежских зимних математических школах С.Г. Крейна 2008 [45], 2010 [46], 2012 [52], на Крымских осенних математических школах 2008, 2009, 2010 [47], на конференции ОББЕ 2011 [83], на семинарах А.Г. Баскакова, а также на научных сессиях ВГУ. Работы [49, 50, 51] опубликованы в изданиях, включенных в список ВАК.
Перейдем к описанию содержания диссертации. Изложение ведется путем перехода от более общих случаев к более конкретным.
Пусть X и У — комплексные банаховы пространства. Обозначим символом В (X, У) множество всех линейных ограниченных операторов, действующих из X в У.
Диссертация посвящена задаче об ограниченных решениях для дифференциального уравнения
где Л, в 6 В(X, У).
{Линейным) пучком, соответствующим уравнению (2), называют [19, 20, 30, 41] функцию

А - Л, А € С.

что произведению функций / д соответствует произведение элементов алгебры В(С)(У, X), т. е. имеет место равенство <р(/д) = <р(/) 0 (р(д). Рассмотрим произведение
J fWXF-G)-1 dX F±, J giiiXvF-GyUg
V,/i Г,0,Л()
Будем считать, что контуры Гд и Гг0д0 расположены по отношению друг к другу как показано на рис. 1 справа.
Докажем вспомогательное равенство

Jrs0o
9&) X
dfi = 0 для Л Є Гs,h-
Рис. 2: Контур ГЛоД, (стрелками показана ориентация)
Для этого рассмотрим замкнутый ограниченный контур Но 1ч, изображенный на рисунке 2. В силу теоремы Коши имеем
Обозначим через 7 hg hi отрезок [—h — ihi ctg Sq, —/7 + ih ctg Jo] Тогда
f т--f f=°-
Jy+ л — a Jг+ ~+ А — /і Лу+ , л
0'h0'hl S0’h 0»Л1 0»Л0»Л1