Константы Джексона в пространствах L2 с весом и задача Логана для целых функций многих переменных

• Автор: Иванов, Алексей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 121 с.

Содержание

Обозначения
Введение
Глава 1. Константа Джексона в пространстве
§ 1. Гармонический анализ Данкля
§ 2. Оператор обобщенного сдвига и модуль непрерывности
§ 3. Непрерывность константы Джексона
§4. Константа Джексона £)(стВ2
Глава 2. Задача Логана для целых функций в пространстве
ГцДКД
§ 1. Связь константы Джексона с задачей Логана
§ 2. Некоторые экстремальные задачи для целых функций
со спектром в евклидовом шаре
§ 3. Задача Логана для целых функций со спектром в
параллелепипеде
Глава 3. Константа Джексона в пространстве ,а(ТД
§ 1. Гармонический анализ в пространстве 1/2,ДТД
§ 2. Операторы обобщенного сдвига и модули непрерывности
§ 3. Точное неравенство Джексона
Список литературы
Обозначения

N — множество натуральных чисел, Z — множество целых чисел, К — множество действительных чисел, С — множество комплексных чисел;
d 6 N, (Cd) — d-мерное действительное (комплексное) евклидово пространство;
supp / — носитель непрерывной функции / (наименьшее замкнутое множество, вне которого функция равна нулю);
Г(ж) — гамма-функция, Л > —1/2, J{x) — функция Бесселя порядка Л, j(x) = 2аГ(А 4- 1) JxJ' ~ нормированная функция Бесселя;
< q,-1 < 0(d) — группа ортогональных преобразований Мф аа € 0{d) — отражение относительно гиперплоскости (а, х) = 0; R = R.|_ 1J R- — разложение конечной системы корней R сКф {0} на положительную /?,+ и отрицательную R- подсистемы;
G(R) С 0(d) — конечная группа отражений, порожденная системой корней R]
к(а) : R. —> М+ — функция на R. инвариантная относительно группы отражений G(R);
vk(x) = п aeR+ Ка’х)2к — обобщенный степенной вес в Мф ск — J e~d2/2Vk(xyjx — константа Макдональда-Мета-Сельбер-
dßk{x) — ск 1vk(x)dx — мера в Кф
Lp,fc(Md), 1 < р < оо — пространство измеримых по Лебегу на КФ
Ьос(Есг) — пространство измеримых по Лебегу функций с конечной нормой ||/||оо = еэввир |/(ж)|;

Сь(1Ф), £(1Ф), 5(Мф — пространства непрерывных ограниченных в Ж*1 функций, бесконечно дифференцируемых функций, бесконечно

функций с конечной нормой ||/||p,fc

дифференцируемых и быстро убывающих к нулю функций соответственно;
= + £ *«><«.i = 1. -.«
J аеД+ ' ’ '
— дифференциально-разностные операторы Данкля; d
Akf(x) = D?f(x) — лапласиан Данкля;

ек(х,у) — обобщенная экспонента (решение системы Djf{x) = = Wjf{x), /(0) = 1);
/(у) = / f(x)ek(x} y)dfik(x) — преобразование Данкля;
Lpa(Mrf) — подпространство в LP!fc(Md) радиальных функций; 5d_1 = {ж € К“1 : х% = 1} — единичная евклидова сфера в Кф Ofc = / Vk{x')dx' — среднее значение обобщенного степенного
Sd-i
веса по сфере Sd~1;
А > —1/2, 6л = 2лГ(А + 1) — нормировочная константа; LPia(R+), 1 < р < оо — пространство измеримых по Лебегу на
Е_|_ функций С конечной нормой ||/||р,А = 6д 1 / fpr2X+1dr
Ж+

/(s) = 6д 1 / f{r)j{rs)r2X+1dr — преобразование Ганкеля;

У, U — выпуклые центрально-симметричные компактные тела в Мф |ж|у, хи — нормы в Кф определяемые этими телами;
Np = 51NIP
Еф Bd — замкнутые единичные шары, определяемые этими нормами;
1 — 2, а > 0 — класс целых в Cd функций / со
спектром в aV (/ 6 LPifc(Md) П Cb(Rd) и supp/ С cxV);
у>,Л ([0, сг]) — класс четных целых в С функций / со спектром в [0,а] (/ € LPia(М+)ПСь(®+) и supp / С [0,сг]);
1/р
I , 1 < р < оо, |ж|оо = тах|ж,-| — //-нормы в
E{aV, f)2,к = inf{||/ - у||2,fc : 9 £ Ek{aV)}

ТЕОРЕМА 3.1. Для любой / Є 1/2,а 0) справедливы точные неравенства
Асимптотика для 25ц совпадает с оптимальной точкой в неравенстве Джексона в пространстве для случая, когда V — В%,
Если и — выпуклое центрально-симметричное компактное тело, модуль непрерывности определяется с помощью окрестностей нуля 5и, дифференциальный оператор
то при применяемой методике доказательства точного неравенства Джексона в которая принадлежит Н.И. Черных [47] и В.А.
Юдину [51], необходимо изучить свойства минимального собственного значения и отвечающей ему собственной функции задачи
Это удалось сделать только для II — параллелепипеда.
Результаты третьей главы анонсированы в [27] и опубликованы с доказательствами в [24].
Автор благодарит своего научного руководителя Д.В. Горбачева за постановку задач и внимание к работе.
При Я —» оо
и = Па, а = Я.