Квазидифференциалы в пространствах Канторовича

• Автор: Басаева, Елена Казбековна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 91 с.

Глава 1. Предварительные сведения

1.1. Пространства Канторовича

1.2. Теорема Хана — Банаха — Канторовича

1.3. Двойственность Минковского

1.4. Дезинтегрирование опорных множеств

Глава 2. Квазидифференциальное исчисление в

К-пространствах

2.1. Квазидифференцируемые отображения

2.2. Квазидифференциалы супремума и инфимума

2.3. Квазидифференциал композиции

2.4. Дезинтегрирование квазидифференциалов

Глава 3. Необходимые условия экстремума в
квазидифференцируемых векторных программах
3.1. Необходимые условия идеального оптимума
3.2. Учет ограничений типа включения
3.3. Необходимые условия обобщенного экстремума
Литература

Негладкий анализ — раздел современного анализа, изучающий недифференцируемые функции аналитическими средствами — на сегодняшний день вполне сложившееся и быстро развивающееся направление математики, имеющее многочисленные приложения к математическому моделированию разнообразных задач современного естествознания. Традиционным полем приложений негладкого анализа является теория экстремальных задач.
В исследованиях общих негладких оптимизационных задач значительное внимание принято уделять поиску удобных локальных выпуклых аппроксимаций для достаточно широких классов функций и множеств. Разными авторами изобретено множество локальных выпуклых аппроксимаций: производные У. Дини и Ж. Адамара (см., например, [15, 21]), конусы Ж. Адамара, Г. Були-гана и Ф. Кларка [21, 30], субдифференциал Ф. Кларка [25] и субдифференциал Ж. Пено [62], шатры В. Г. Болтянского [7], контейнеры Дж. Варги [8], аппроксимация первого порядка Л. Нойштадта [60], ЛМО-аппроксимации Е. С. Левитина, А. А. Милютина и Н. П. Осмоловского [34, 35], верхние выпуклые (нижние вогнутые) аппроксимации Б. Н. Пшеничного [41], — вот далеко не полный перечень используемых аппроксимаций. Вместе с тем нет универсального, пригодного для любых классов задач, типа локальной аппроксимации. Различные локальные выпуклые аппроксимации дополняют друг друга, причем для изучения разных конкретных классов задач могут оказаться более удобными любые из имеющихся типов локальных аппроксимаций.
Тот факт, что субдифференциал характеризует локальное поведение выпуклой функции играет ключевую роль в современном выпуклом анализе. Становление современного выпуклого анализа началось в 1960-е годы, прежде всего под воздействием теории экстремальных задач, развития методов оптимизации и математической экономики. Выпуклый анализ как самостоятельное направление сформировался во многом благодаря вкладу В. Фенхеля [51], Ж.-Ж. Моро [58] и Р. Т. Рокафеллара [43]. Основные понятия и результаты, а также важнейшие приложения выпуклого анализа и изложены в обзоре В. М. Тихомиро-

ва [45]. Многочисленные приложения теории выпуклых множеств и функций изложены, например, в монографиях А. Д. Иоффе, В. М. Тихомирова [22] и К. Лейхтвейса [36], В. Л. Левина [33].
В начале 1970-х годов началось интенсивное изучение выпуклых операторов со значениями в упорядоченных векторных пространствах. В этот период произошел синтез методов выпуклого анализа с теорией упорядоченных векторных пространств. Итоги этого периода подведены в обзорах А. М. Рубинова [44] и
С. С. Кутателадзе [31]. Первое монографическое изложение локальной теории выпуклых операторов имеется в книге Г. П. Акилова и С. С. Кутателадзе [1]; современное состояние теории представлено в монографии А. Г. Кусраева и
С. С. Кутателадзе [29, 30].
Одной из наиболее простых аппроксимаций недифференцируемых функций служит (односторонняя) производная по направлениям. Выпуклая функция /, определенная в окрестности некоторой точки х0 6 К", имеет одностороннюю производную /'(хо)/г в точке х0 по каждому направлению И е X, вычисляемую по формуле
Л»„)Л:= Нт/(Ж0 + ^-/(Ч
где <4-0 означает, что t стремится к нулю справа. При этом функция И (-> /'(хо)/г сублинейна и допускает линеаризацию в следующем смысле: существует компактное выпуклое множество Л С К", называемое субдифференциалом / в точке х0 и обозначаемое символом Э/(х0), такое, что
/'(х0)Л = эир{(Л.|у> : у £ Б} [И £ Кп),
где (• | •) — обычное скалярное произведение в К".
Существуют и невыпуклые функции, локальное поведение которых может описываться производной по направлениям или субдифференциалом. В работах А. Д. Иоффе, В. М. Тихомирова [22] и Б. Н. Пшеничного [42] был введен класс локально выпуклых функций, т. е. функций имеющих в точке сублинейную производную по направлениям. Однако такой класс функций не является векторным пространством, так как не выдерживает умножения на отрицательные числа. Но можно «симметризовать» определение локально выпуклой функции, рассмотрев односторонние производные по направлениям, представимые в виде разности двух сублинейных функций. Полученный при этом класс функций называют классом квазидифференцируемых функций. Как видно, квазидифференцируемость функции / в точке хо означает, что существует производная по направлениям /'(хо) и существуют два компактных выпуклых множества

где R(x0) := {к 6 {1 n) : f(x 0) = Л(х0)} и Q{x0) :={*е{1....в}: g(x„)
fk(xо)}.
Доказательство. В рассматриваемом случае множество Г„(хо) перепишем в виде
п П ч
(оц <*„) 6 К" : ак S* 0, = 1, ^а*(/(х0) - fk{x 0)) = О I.
к=1 *=1 J
Равенство Ek=iM/M ~ fk(xo'j) = 0 влечет ak(f(x0) - Л(х0)) = 0 для всех к, так как f(x0) ^ /*(хо) и, стало быть, сумма состоит из неотрицательных слагаемых. Таким образом, число ак отлично от нуля лишь только в том случае, когда соответствующий номер к входит R(x0), поэтому в формулах из теоремы 2.2.1 объединение и суммирование следует производить по номерам из R(xо). Аналогично, вид множества Дл(х0) приводит к суммированию и объединению по множеству номеров Q{x0). □
2.3. Квазидифференциал композиции
В текущем параграфе устанавливается, что при некоторых условиях композиция квазидифференцируемых отображений квазидифференцируема. Приведены явные формулы для вычисления соответствующих квазидифференциалов. Для случая операторов, действующих из банахова пространства в банахово К-пространство, соответствующий результат получен В. Ф. Демьяновым и А. М. Рубиновым (см. [21]; Прил. III).
Определение 2.3.1. Пусть Е и F — некоторые АГ-пространства. Рассмотрим отображение g : Е —> F’, дифференцируемое по направлениям в точке ео 6 core (dom (g)). Возьмем направление и Е Е и элемент d 6 F. Предположим, что для любой последовательности (е„) С Е, еп1 0, имеет место соотношение
inf sup
meN 0<а<1/т|и'-и|<е„,
Тогда d называют производной Адамара g в топке во по направлению и и обозначают geo)u := d. Такое обозначение оправдано тем очевидным наблюдением, что если существует производная Адамара, то существует и производная Дини (в той же точке по тому же направлению) и их значения совпадают. Таким образом, производную Адамара д в точке е0 по направлению и можно
g(e0 + cm') — g(e0)

= 0.
ГпЫ = {