Об операторных уравнениях с сюръективными квазиобратимыми операторами

• Автор: Губина, Светлана Сергеевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 96 с.

Содержание
Введение

Основные обозначения

§1. Вспомогательные сведения

1 1 Некоторые свойства многозначных отображений

1 2 Некоторые свойства сюръектявных операторов 2G

1 3 Топологическая степень вполне непрерывных векторных полей

1 4 Топологическая размерность dim

§2. Квазиобратимые операторы

2 1 Определение квазиобратимых операторов Примеры

2 2 Квазизамкнутые операторы

§3. Уравнения с квазиобратимыми операторами
3 1 (А р)-вполне непрерывные возмущения квазиобратимых сюръ-
ективных операторов Теорема существования
3 2 Некоторые следствия из теоремы 3 1 10
3 2 1 Устойчивость свойства сюръективности оператора относительно малых компактных возмущений
3 2 2 О локальных решениях вырожденных дифференциальных уравнений (случай 1)
3 2 3 О локальных решениях вырожденных дифференциальных уравнений (случай 2)

§4. Теорема Борсука-Улама для квазиобратимых операторов
4.1. Уравнения с Л-вполне непрерывными отображениями
4.2. Теорема Борсука-Улама
4.3. Некоторые приложения теоремы Борсука-Улама
4.3.1. Об устойчивости ядра квазиобратимого оператора относительно вполне непрерывных возмущений
4.3.2. Теорема об антиподах в бесконечномерных банахо-
вых пространствах
4.3.3. Об одной задаче для дифференциальных уравнений
Список литературы

Введение
В современной математике широко используются методы исследования операторных уравнений, основанные на геометрических идеях. Одним из них является метод неподвижных точек. Этот метод имеет давнюю историю, существенное влияние на развитие этого метода оказали работы Д. Биркгофа и О. Келлога, С. Банаха, Р. Каччиополи, Ю. Шаудера, А. Н. Тихонова, Ж. Лере. М. А. Красносельского и других.
Наиболее простым и наиболее важным является принцип существования неподвижной точки, принадлежащий Шаудеру |46|. Этот принцип явился четким оформлением методов доказательства теорем существования, разработанных в статье Биркгофа и Келлога [38].
Принцип Шаудера применяется при доказательстве как локальных, так и нелокальных теорем существования в теории дифференциальных уравнений и других задачах современной математики. Принцип Шаудера был обобщен А.Н. Тихоновым [36] на некоторые классы операторов, действующих в линейных топологических пространствах. Роль топологии в проблеме существования неподвижных точек х = f(x) (и операторных уравнений /(х) = д(х)) отчетливо выявлена еще в классических работах А. Пуанкаре, Л. Кронекера, Л. Брауэра, С. Лефшеца, X. Хопфа. С 30-х годов понятие степени для вполне непрерывных отображений (Ж. Лере, Ю. Шаудер) получило важные приложения в краевых задачах и гидромеханике. Теория топологической степени (вращения) вполне непрерывных векторных полей Лере-Шаудера интенсивно развивалась в Воронеже М.А. Красносельским п его школой (см. [25|).
В последние годы начались исследования операторных уравнений с
большее такое целое число к, что существует точка пространства X, содержащаяся в к элементах данного покрытия.
Покрытие а метрического пространства X называется б-покрытием, если все его элементы имеют диаметры меньше б.
Если а = {Му,..., М3} есть с-покрытие пространства X какими угодно множествами Му,.... М3, то заменяя множества Мг достаточно тесными их окрестностями ОМи получим открытое 6-покрытие {ОМу,.... ОМ,}, а переходя к замыканиям М,..., М3 или О Му..... ОМ&, получим замкнутое б-покрытис пространства X. Поэтому при определении полной ограниченности метрического пространства е-покрытия а = {Му,..., М3} можно предполагать как совершенно произвольными, так и открытыми или замкнутыми — это не окажет влияние на результат.
Компакт X имеет размерность сИт,{Х) < п, если для любого 6 больше нуля существует замкнутое с-покрытие кратности меньшей или равной 71+1.
Если при этом для некоторого б > 0 компакт X не имеет замкнутого б-покрьттия кратности меньше или равной п, то с1гт(Х) = п. Следовательно, для любого компакта X, состоящего из конечного числа точек с1гт[Х) = 0.
В случае произвольного топологического пространства можно дать следующее определение.
1.4.2. Определение. Для любого топологического пространства X получаем йгт(Х) < п. если в любое конечное открытое покрытие О пространства X можно вписать конечное открытое покрытие и> кратности меньше или равной 71+1.