Инварианты и представления классических супералгебр Ли и их приложения к квантовым интегрируемым системам

• Автор: Сергеев, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 253 с.

Введение (
Глава 1. Классическая теория инвариантов и супералгебры Ли
1. Введение
2. Инварианты супералгебр Ли д((Г)
3. Инварианты супералгебр Ли з1(У)
4. Инварианты супералгебр Ли озр(У)
5. Инварианты супералгебр Ли ре(У)
6. Инварианты супералгебр Ли зре(У)
Глава 2. Супералгебры и проективные представления симметрических групп
1. Введение
2. Основные определения
3. Алгебры Гельфанда-Цетлина
4. Проективные представления симметрических групп
5. Проективные аналоги симметризаторов Юнга
6. Централизаторная конструкция Янгиана для супералгебр Ли
серии <3(п)
7. Доказательство Теоремы 6.2
8. Доказательство Теоремы 6.5
Глава 3. Кольца Гротендика классических супералгебр Ли
1. Введение
2. Основные классические супералгебры Ли и обобщенные
системы корней
3. Кольцо ./(д) и суперхарактеры д
4. Геометрия множества старших весов
5. Доказательство основной Теоремы
6. Явное описание колец Л(д)
7. Специальный случай А( 1,1)
8. Группоид Вейля
9. Инвариантные полиномиальные функции
10. Явное описание алгбер Г(д)
Глава 4. Супералгебры Ли и деформированные квантовые интегрируемые системы

1. Ввведение
2. Обобщенные системы корней и квантовая задача КМС
3. Конструкция квантовых интегралов для классических серий
4. Алгебра Лд, в и гомоморфизм Хариш-Чандры
5. Обобщения : эллиптическая и разностная версия
6. Алгебра дуальная к обертывающей алгебре
7. Сферические функции и инвариантные дифференциальные
операторы на симметрических суперпространствах
8. Проективные функции Шура как бисферические функции на
некоторых симметрических суперпространствах
Глава 5. Деформированные интегрируемые системы как
ограничения бесконечномерных классических систем
1. Введение
2. Симметрические функции и полиномы Джека
3. Сдвинутые полиномы Джека
4. Операторы Данкла-Чередника и гомоморфизм Хариш-
Чандры
5. Обобщенный дискриминант и деформированный КМС
6. Сдвинутые симметрические функции и квантовые интегралы
деформированной задачи КМС
7. Фильтры и КМС инвариантные идеалы в Л
8. Комбинаторные формулы
9. Полиномы Макдональда и сдвинытуе полиномы Макдональда 226
10. Операторы Чередпика-Данкла и гомоморфизм Хариш-
Чандры
11. Деформированный оператор Макдональда-Рудженарса как
ограничение
12. Сдвинутые суперполиномы Макдональда и гомоморфизм
Хариш-Чандры
13. Комбинаторные формулы
Литература

Связь между классической теорией инвариантов и теорией представлений групп Ли впервые была открыта в первой половине 20-го века в фундаментальных работах И. Шура, Р. Брауэра и Г. Вейля и оказала огромное влияние на развитие как теории инвариантов, так и теории представлений. Итог первого этапа развития этой теории был подведен в основополагающей книге Г. Вейля "Классические группы их инварианты и представления" [61]. В этой книге были описаны инварианты, зависящие от произвольного числа векторов и ковекторов, а также централиза-торные алгебры классических серий простых групп Ли и, вычислены характеры неприводимых представлений. Дальнейшее развитие теория инвариантов и тория централизаторных алгебр получили в работах Дж. Бирмана, Ч. Венцля, А. Рэма, Дж. Мураками, П. Ханлона Д. Валеса, Т. Аракавы, И. Макдональда, М. Назарова, К. Прочези, К. Копчини, Ж. Дьедоне и Р. Хау др. Особенно следует отметить работы Р. Хау [63]. Его обобщение двойственности Шура-Вейля получило название метода дуальных пар. Открытием в 80-х годах прошлого века квантовых групп ознаменовало новый этап в развитии этой теории, существенно расширив список централизаторных алгебр и дуальных пар. Примерно в это же время возникает и теория суиемногообразий, что приводит к естественным попыткам обобщения двойственности Шура-Вейля и метода дуальных пар на "суперслучай". В работах автора теория двойственности была обобщена на случай как общей линейной супералгебры Ли, так и на случай ее нечетного аналога, что позволило сделать существенный прогресс в теории проективных представлений симметрических групп. Важный шаг в развитии этой теории был сделан в работе А. Вершика и автора [159], на основе обобщения понятия алгебры и базиса Гельфанда- Цетлина. Возникающие при этом естественные нечетные аналоги элементов Юнга—Юциса—Мерфи были использованы для более простого вывода ортогональной формы Юнга для проективных представлений симметрических групп и постоення [143] проективных аналогов сим-мегризаторов Юнга. В работе [100] проективный вариант двойственности Шура-Вейля был использован для доказательства гипотезы Г. Ольшанского о возможности централизаториой конструкции Янгиапа супералгебр Ли серии ц.
Заметим, что в случае простых классических алгебр Ли двойственность Шура-Вейля равносильна описанию инвариантом зависящих от

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.13. Рассмотрим цепь Z2 - градуированных алгебр 2) =< С = Л(1) С А(2) • • • С А{п) >
1) Алгебра SGZ(2)), порожденная последовательными суперцентрализаторами
SGZ(lg) =< SZ(A{2), A(l)) SZ(A(n),A(n - 1)) >
называется супералгсброй Гельфанда—Цетлина.
2)Через SZ(2)) обозначим коммутативную алгебру, порожденную суперцентрами SZ{A{ 1)) SZ(A(n)).
Как будет показано ниже алгебра SZ(2)) является суперцентром алгебры SGZ(%)).
Для цепей алгебр с простым ветвлением в неградуированном случае алгебра порожденная последовательными централизаторами совпадает с алгеброй порожденной центрами SZ(2)) = SGZ(2)). В неградуированном случае имеем вообще говоря строгие включения
SZ(2J) С GZ(ÏÏ)) с SGZ(ÏÏ»,
причем первые две алгебры коммутативны. Роль супералгебры Гельфанда- Цетлина состоит в том, что разложение неприводимых А(п) модулей на неприводимые SGZiT)) модули дизъюнктно. В случае тривиальной градуировки и простого спектра алгебра SGZ(%)) совпадает с SZ(%)). В случае непростого спектра SGZ(2)) есть так называемая "большая алгебра" Гельфанда-Цетлина. Основной результат этого параграфа заключается в следующей теореме.
ТЕОРЕМА 3.14. Рассмотрим цепь градуированных алгебр 2} =< € = А(1) С А(2) • ■ ■ С А{п) >
Тогда
1) Ограничение неприводимых А(п) модулей на супералгебру Гельфанда—Цетлина имеет простой спектр
2) Разложение различных неприводимых А (гг) модулей на неприводимые SGZ{T)) модули не имеют общих слагаемых. Тип неприводимости ненулевого модуля SGZ{2)) совпадает с типом неприводимости содержащего его А(п) модуля.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство основано на серии лемм.
ЛЕММА 3.15. Предположим, что Z2 - градуированное векторное пространство V конечноліерно и градуированная подалгебра А с End(V) полупроста, и пусть А! ее суперцентрализатор. Тогда (А')' = А.
Доказательство теоремы содержится в [100]. Эта теорема аналогична теореме о бикоммутанте подалгебр в простых алгебрах и доказывается аналогично.