Аппелеподобные полиномы одного и двух переменных и их приложения

• Автор: Сторчевая, Г.Д.
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 137 c. : ил

Глава X. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ

§ 0. Введение

0.1. Аппелеподобные полиномы (4). 0.2. Полиномы класса (7). 0.3. О структуре диссертации (8).

§ I. Известные факты и постановка задач

1.1. Связующие постоянные (9). 1.2. Двумерные аналоги полиномов из и #ад(11). 1.3. Операторная характеризация полиномов из (14). 1.4.

Разложения в ряды функций, аналитических в начале координат (16).

1.5. Разложения целых функций по аппелеподобным полиномам и полиномам класса (19). 1.6.Дифференциальные уравнения бесконечного порядка в пространствах функций одного и многих переменных (20).

§ 2. Обзор полученных результатов

2.1. Содержание главы 2 "Отображения классов полиномов" (22). 2.2. Содержание главы 3 "Базис-ность полиномов" (29).

Глава 2. ОТОБРАЖЕНИЯ КЛАССОВ ПОЛИНОМОВ

§ 3. Матричные отображения

3.1. Постоянные матрицы (37). 3.2. Полиномиальные матрицы Теплица (47). 3.3. Полиномиальные матрицы Вронского (52). (г 2)
§ 4. Отображения полиномов из и Вт
4.1. Алгебраическая структура (57).
4.2. Примеры аппелеподобных полиномов двух переменных (60). (б,~к)
4.3. Алгебраическая структура Вг ’ (61).
§ 5. Отображения полиномов из и дифференциальными операторами бесконечного порядка
5.1. Определения основных операторов (65). 5.2.Отображение Д6&2, в (68). 5.3. Примеры (73).

(2 2)
5.4. Отображение Д^2 в В1 ' (74). 5.5. Отображения в и в (76).
§ 6. Аппелеподобные полиномы как собственные функции
дифференциальных операторов
6.1. Операторы бесконечного порядка (80). 6.2.Операторы фиксированного порядка (85).
§ 7. Исследование свойств аппелеподобных полиномов с помощью дифференциальных операторов бесконечного порядка
7.1. Операторы, инвариантные относительно обобщенного сдвига (88). 7.2. Операторная характеризация полиномов (91). 7.3. Теорема об изоморфизме (95).
Глава 3. БАЗИСНОСТЬ ПОЛИНОМОВ
§8. Пространство
8.1. Квазистепенная базисность полиномов из ДЕв^
(98). 8.2. Базисность полиномов из (104).
§ 9. Базисность полиномов в пространствах целых функций двух переменных
9.1. Пространство { 'f'>°(] (107). 9.2. Базисность аппелеподобных полиномов в {tfw.jj] (110). 9.3. Базисность полиномов из
$г(2,2) в (ЦІ).
9.4. Базисность полиномов из Д^г,г^ в пространстве целых функций двух переменных экспоненциального типа (112).
§ 10. Отображения функциональных пространств матричными
и дифференциальными операторами
10.1. Матричные операторы (117). 10.2. Дифференциальные операторы бесконечного порядка (119).
10.3. Дифференциальные операторы в пространствах функций одного переменного (125). 10.4. Дифференциальные операторы, порожденные операторами D%
и Д" (127).
ЛИТЕРАТУРА

ГЛАВА I ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ
§ 0. Введение.
0.1. Аппелеподобные полиномы.
В 1880 году Аппель £[]определил класс последовательностей полиномов * обладающих следующими двумя эквивалентными свойствами:
1. р'„.(Ю = рп-1& . п=1,2,Ъ,... .
2.Производящая функци я$(2,Ш)этой последовательности
имеет вид
гиг °°
<Р(г,кг)=А(иг)е =%> рпШЮ'П',
п*о1
где Л(Ш) - формальный степенной ряд с ненулевым свободным членом.
Первое обобщение полиномов Аппеля связано с усложнением производящей функции Наиболее интересными и плодотворными из таких обобщений являются полиномы Шеффера [%]*[з], Брен-ке (4]и объединяющий их класс аппелеподобных полиномов, введенный Боасом и Баком [б],[б].
Определение 0.1. Полиномы РцС^) степени точно /1 называются аппелеподобными, если их производящая функция имеет вид

р^т11, (о.п
где порождающими функциями Д(гО') ^1^(и) » -являются формальные степенные ряды, коэффициенты которых удовлетворяют условиям:
А„*0,ёл*0 ,^0,^*0, П=а,1,2

Для оператора из утверждения 3.5 вытекает Следствие 3.2. Последовательность (р — Ц^р , где а функция ТЫ) определена в (3.14), будет аппелеподобной
только в двух случаях:
I. Щ(и) = еаи, Т(и)*е

- про-

у** а *
извольные, отличные от нуля постоянные;
2. д(1М-)г= и/ и все коэффициенты Т(и)^(и) отличны от нуля.
Из пункта 2 следствия 3.1. в свою очередь вытекает Следствие 3.3. Последовательность аппелеподобная
тогда и только тогда, когдаивсе коэффициенты Т(и)*^_ ~Ь щ
удовлетворяют условиям: ^ Т^т О

т=о
для всех /г
Подобное исследование для общего оператора 7^ не представляет интереса.
Пример 3.3. Пусть а) 8 *2(8-1)
-Р . Вгиг I Є , тогда, если
и рв{Нп(*)/пі}„а и р * { іп &}п=

целое
число

получим соответственно последовательноп-к,. п-к ,п-к
в) Ь~ 8^і _ то при отображении Т^. сти полиномов:
а) Д, (.Ы) = 2 С» 2* к«-іГгп"*/Ш;
« ые*) Я Щ2*£*£'(*)-,
в) ВМ^ие-ОіІ^В^).
4*0
3.2.2. Отображения в в и ^ в Д .
Оказывается, что в этих случаях способность оператора 7* осуществлять указанные отображения зависит от того, является ли функция Т&М в (3.12), (3.13) решением вполне определенного
Гг)