Об одном семействе экстремальных задач и свойствах соответствующего класса нелинейных дифференциальных уравнений

• Автор: Абессоло Жеаннот Мишель
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 103 с.

Оглавление
Введение

1. Изопериметрическая задача при наличии интегральных ограничений

1.1. Постановка основной экстремальной задачи

1.2. Необходимые условия и редукция уравнения Эйлера-Лагранжа к интегралу

1.3. Исследование нулей функции Л(р, д, г, р)

1.4. Достаточные условия экстремума

1.5. Наилучшие приближения и поперечники

2. Экстремальные задачи в пространствах с весом

2.1. Корректность основной задачи

2.2. Существование экстремальной функции

2.3. Необходимые условия экстремума
2.4. Поперечники по Колмогорову
2.5. Качественные свойства нелинейного уравнения (2.19) .
2.6. Случай р = q = г = 2 задачи (2.1)-(2.3) и функции Лежандра

2.7. Вычислительная схема поиска симметричного решения задачи (2.1)-(2.3) при р
2.8. Основная теорема при р —
2.9. Явное решение задачи (2.1)-(2.3) при § = оо, г = 2 . . .
2.10. Решение задачи (2.1)-(2.3) в случае р = г — 2, д=1 ..
Литература

Введение
у"(х) + Х2у(х) = О,
лежающему в основе многих построений в математике, физике, технике. Однако теоретический и практический интерес исследований в последнее время смещается в сторону нелинейных дифференциальных уравнений.
В диссертации исследуются семейства экстремальных задач для вещественнозначных, абсолютно - непрерывных функций у (ж), определенных на отрезке [-1, 1], р, у, г >
/II у(х)ч(1х -> вир, 1-11У' {х)р<1х < 1, /I! |У (х)Г^ 3§П (у (ж)) (1х = О
(0.1)

1-1 Iу(х) (0.2)
/I! Iу (ж)|г 1 sgn (у (ж)) Фс =

Если допустим, ЧТО А1 = 0, то из (1.4) получим
А0д|у|(/ ^п(у) = А2(г - 1)[у|г 2. (1.7)
Умножая (1.7) на у = |у|5^и(у) и интегрируя по отрезке [-1,' 1] с учетом (1.3), получаем

Ао4 / уч(1х = А2{г - 1) / уг~18%п(у) = 0.

Отсюда следует, что Ао = А2 = 0, что невозможно, ибо все множители
Лагранжа не равны нулю одновременно. Таким образом А1 Ф 0. При
этом из (1.6) следует, что

/ yTdx = 1 (1.8)

и уравнение Эйлера можно писать в виде
(у'р 18§п(у/))/ + А^!4 1sgn{y) = ауг 2, (1.9)
х б [—1,1] с условиями (1.3), (1.5) и (1.8).
Интегрируя (1.9), получаем
1=^ + л№=С1МТ!1^М + С2, (1.Ю)
р у г —
где р' = д.
С помощью подходящего преобразования вида ау(Ьх) и переобозначения постоянной в (1.10), приходим к уравнению
у'р = 1 + pyr-1sgn(y) - уф (1.11)
при условиях у'фГф) — у'фГф) = 0,у'(х) > 0 при х 6 (Т,ТФ) и