Модельные подпространства пространств Харди: неравенства Бернштейна, системы воспроизводящих ядер, теоремы типа Берлинга-Мальявена

• Автор: Баранов, Антон Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 296 с.

Глава
Введение
Теория модельных пространств представляет собой обширный и активно развивающийся раздел современного анализа. В важном частном (скалярном) случае модельные пространства определяют как Я© = Я2 0 0Я2, где Н2 - пространство Харди в единичном круге В (или в верхней полуплоскости С+), а 0 - внутренняя функция. Согласно классической теореме
А. Берлинга подпространства А© и только они инвариантны относительно оператора обратного сдвига в Я2. Теория пространств Я© играет выдающуюся роль в современной теории операторов в гильбертовом пространстве и в комплексном анализе.
Становление теории модельных пространств относится к 1960-м годам, когда Б. Секефальви-Надь и Ч. Фойаш построили свой замечательный вариант спектральной теории - функциональную модель операторов сжатия в гильбертовом пространстве. Как оказалось, всякий оператор сжатия Т (то есть оператор, удовлетворящий условию ||Т|| < 1) такой, что последовательность {Тта}„>о поточечно сходится к нулю, может быть реализован как сужение оператора "кратного сдвига" на некоторое инвариантное подпространство оператора обратного сдвига. В простейшем варианте теории, когда I — Т*Т - оператор ранга 1, соответствующее подпространство совпадает с некоторым подпространством Я© в скалярном пространстве Харди. Отсюда происходит ныне широко используемый термин модельное (под) пространство.
Одновременно, в конце 1950-х - начале 1960-х годов, Л. де Бранж создал теорию гильбертовых пространств целых функций. Эта теория позволила решить одну из важнейших задач математической физики, а именно обратную спектральную задачу для одномерных операторов Шредингера и двумерных канонических систем. Теория пространств де Бранжа тесно связана с теорией модельных пространств (а именно, имеется естественный унитарный изоморфизм между пространствами де Бранжа и модельными

Глава 1. Введение

пространствами, порожденными мероморфными внутренними функциями).

Модельные пространства играют исключительно важную роль как в теории операторов, так и в комплексном анализе. В 1960-х годах они возникают в работах X. Шапиро, А. Шилдса, Н.К. Никольского о базисах Рисса (безусловных базисах) из ядер Коши в пространстве Н2 (соответственно в Нр). В 1970-е годы существенный вклад как в изучение аналитических свойств элементов модельных пространств, так и в теорию операторов на модельных пространствах, внесли работы П. Ахерна и Д. Кларка (существование граничных значений, меры Кларка), а позднее работы Д. Сарасона и У. Кона.
Теория модельных пространств стала одним из важнейших направлений деятельности ленинградской школы теории функций. Существенную роль в становлении теории модельных пространств сыграла монография Н.К. Никольского "Лекции об операторе сдвига", появившаяся в 1980 году. Значительные результаты в этой области были получены А.Б. Александровым,
В.И. Васюниным, А.Л. Вольбергом, С.Р. Треилем, K.M. Дьяконовым, А.Г. Полторацким. В работах Н.К. Никольского, С.В. Хрущева и Б.С. Павлова были получены важные результаты об описании базисов Рисса из воспроизводящих ядер в модельных пространствах. Как частный случай их результаты содержат решение знаменитой задачи Пэли и Винера о базисах из экспонент.
В настоящее время теория модельных пространств представляет собой активно развивающуюся область операторно-ориентированной теории функций. Недавние продвижения в ней связаны с работами В.П. Хавина (в соавторстве с Дж. Машреги) о допустимых мажорантах для модельных пространств и с работами Н.Г. Макарова и А.Г. Полторацкого о полноте систем воспроизводящих ядер и инъективности операторов Теплица. В первом цикле работ был предложен существенно новый подход к теореме Берлинга-Мальявена о мультипликаторе и доказаны теоремы о допустимых мажорантах для модельных пространств. В работах Макарова и Полторацкого построен аналог теории Берлинга-Мальявена, получены результаты о полноте систем воспроизводящих ядер, обобщающие теорему Берлинга-Мальявена о радиусе полноты для семейств экспонент, и рассмотрены приложения к вопросам полноты собственных функций операторов Шредингера.
Несмотря на успешное и активное развитие теории модельных пространств, в ней остается большое количество открытых вопросов и нерешенных задач. Одной из таких задач, является, например, описание мер Карлесона для модельных пространств, представляющее особый интерес в свете недавних работ Д. Сарасона об усеченных операторах Теплица.

Другие нерешенные вопросы связаны с геометрическими свойствами систем воспроизводящих ядер - нет полного описания базисов Рисса из воспроизводящих ядер в модельном пространстве (и даже неизвестно, всегда ли существует базис Рисса из ядер), представляют интерес явные и легко проверяемые критерии полноты (т.е. описание множеств единственности), вопросы полноты систем, биортогональных системам воспроизводящих ядер, и возможность спектрального синтеза. Отметим, что для широкого класса операторов Шредингера имеется канонический изоморфизм (преобразование Вейля-Титчмарша), сопоставляющее данной спектральной задаче некоторое модельное пространство Ке, причем собственным функциям отвечают воспроизводящие ядра в_ К@. Таким образом, геометрические свойства систем воспроизводящих ядер представляют значительный интерес с точки зрения спектральной теории операторов Шредингера.
В диссертации получены новые результаты, относящиеся к теоретикофункциональным и геометрическим свойствам модельных пространств. Можно выделить следующие основные направления исследований:
— весовые неравенства Бернштейна для модельных пространств;
— приложения неравенств Бернштейна к теоремам вложения карлесо-новского типа;
— геометрические свойства систем воспроизводящих ядер (полнота, описание базисов Рисса и их устойчивость);
— допустимые мажоранты для модельных пространств, теоремы типа Берлинга-Мальявена.
Между вышеназванными задачами имеется целый ряд внутренних связей. Неравенства Бернштейна будут применяться при доказательстве теорем вложения и результатов об устойчивости базисов, а задача о допустимых мажорантах тесно связана с вопросами единственности и полноты систем воспроизводящих ядер.
Общая черта вышеперечисленных исследований заключается в том, что рассматриваемые задачи естественным образом сводятся к вопросам теории сингулярных интегральных операторов, в частности, операторов Кальдерона-Зигмунда и их модификаций (в том числе весовых). Помимо методов теории сингулярных интегралов в работе существенно используются результаты и техника теории целых функций (функции вполне регулярного роста, различные варианты принципа Фрагмена-Линделефа), а также теории квазианалитических классов.
Диссертация состоит из десяти глав. В настоящей главе (Введение) мы дадим подробный обзор диссертации по главам и приведем формулировки

Глава 1. Введение
воспроизводящих ядер, для которых условие (1.6.7) не выполнено. В частности это не так для ортогональных базисов де Бранжа-Кларка {куп} (см. §1.1). В этом случае 1п еКи, таким образом, |©(£п)| =
Рассмотрим следующий пример. Если 0 - мероморфная в С внутренняя функция с фазовой функцией (р, то точки из носителя базиса де Бранжа-Кларка могут быть найдены из уравнения
Ввиду этого примера представляется естественным рассмотреть такие возмущения Зп точек ф, что
то есть возмущения, малые по отношению к изменению аргумента функции 0. Здесь символом (s, t) мы обозначаем интервал с концами s и t (в любом порядке).
Возмущения вида (1.6.9) изучались У. Коном [78] в одном важном частном случае, обобщающем случай 0(г) = ехр(гаг), а именно для однокомпонентных внутренних функций (см. определение в §1.1):
Пусть 0 - однокомпонентная внутренняя функция. Тогда найдется такое число є — є(0) > 0, что если {&«„} - базис де Бранжа-Кларка и выполнено условие (1.6.9), то также будет базисом Рисса в Kq. (У.
Как будет показано в §6.4, условие однокомпонентности существенно, и теорема Кона не может быть распространена на случай произвольных (даже мероморфных) внутренних функций. Однако мы получим аналог этой теоремы, справедливый для произвольных модельных пространств.
1.6.3 Основные результаты об устойчивости базисов
Мы предложим подход к задаче об устойчивости базисов Рисса и фреймов из воспроизводящих ядер, основанный на полученных в Главе 2 неравенствах типа Бернштейна (оценках производных) в модельных пространствах. Этот подход позволяет дать единое доказательство и существенно обобщить все известные ранее результаты об устойчивости базисов из воспроизводящих ядер (теоремы Кона и Фрикена). Отметим, что первые доказательства результатов об устойчивости базисов из экспонент также опирались на неравенства типа Бернштейна.
ip(tn) = arg а + 27гп.
(1.6.9)
Кон, [78])