Спектральные разложения операторов дифференцирования в пространстве векторнозначных функций в сингулярном случае

• Автор: Цыганов, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 80 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Спектральные разложения плотно заданных операторов дифференцирования в пространстве векторнозначных функций
§1. Определение цепочки плотно заданных операторов дифференцирования в пространстве С2{(0, оо), С")
§2. Обобщенные спектральные меры операторов цепочки
§3. Обобщенные спектральные разложения операторов цепочки
2. Спектральные разложения неплотно заданных операторов дифференцирования в пространстве векторнозначных функций
§1. Определение цепочки неплотно заданных операторов дифференцирования в пространстве £2((0, сю), С")
§2. Обобщенные спектральные меры операторов цепочки
§3. Обобщенные спектральные разложения операторов цепочки
3. Примеры описания спектральных разложений некоторых операторов дифференцирования на полуоси
§1. Описание спектральных разложений плотно заданных операторов дифференцирования в пространстве £2(0, оо)
§2. Описание спектральных разложений неплотно заданного сужения интегро-дифференциального оператора в пространстве £2(0, оо)
Литература

Введение
В диссертации рассматриваются вопросы, связанные со спектральной теорией симметрических операторов дифференцирования в пространстве векторнозначных функций.
Основы общей теории симметрических операторов в гильбертовом пространстве были заложены Дж. фон Нейманом [31], М. Стоуном [33] и получили свое дальнейшее развитие в работах М. А. Наймарка [27]-[29], М. Г. Крейна [18]—[20], М. А. Красносельского [16] [17], А. В. Штрауса [42], [48]—[50] и других авторов.
Ими были описаны совокупности всех обобщенных резольвент и спектральных функций для различных классов симметрических операторов.
Для формулировки некоторых результатов работ [42], [50], [53], [54], [57], использованных в диссертации, напомним основные понятия и предложения теории линейных операторов в гильбертовом пространстве.
Через S) обозначим абстрактное гильбертово пространство со скалярным произведением (,) и нормой || ||.
Линейный оператор А, действующий в ф, называется симметрическим, если для любых элементов /, д £ Dom А справедливо равенство (А/, д) = (/, Ад). В общем случае область определения оператора не обязательно плотна в . Для ограниченного оператора понятие симметрического оператора совпадает с самосопряженным.
Как обычно, оператор В называется расширением оператора А (А С В), если Dom А С Dom В и Bf = Af для любого / £ Dom А. Оператор А в этом случае называют сужением оператора В на Dom А и обозначают А = В|о0тД
Теория расширений симметрических операторов развита Дж

Нейманом, который свел ее к задаче расширения изометрического оператора с помощью преобразования Кэли. При этом существенную роль играет теория дефектных подпространств.
Пусть Л — произвольное невещественное число. Через 9Яд обозначим область значений оператора А — XI:
Ш(А) — 11ап(А — XI) или 9Яд(А) = (А — XI) Бот А.
Ортогональное дополнение к области значений оператора А —XI называется дефектным подпространством оператора А и обозначается 91д(А):
д(А) = £Є9Лд(А).
В дальнейшем, если известно о каком операторе идет речь, будем обозначать их просто 9Яд и Щд.
Размерность дефектного подпространства 9Тд одинакова для всех Л, принадлежащих нижней полуплоскости С_ или верхней полуплоскости С., и называется дефектным числом оператора в данной полуплоскости. Упорядоченная пара (біт 94-г-, біт 91,:) называется индексом дефекта оператора (или просто дефектными числами). Дефектные подпространства ОТд и <Дд являются собственными подпространствами оператора А* (или отношения А*, если оператор неплотно задан), отвечающими собственным значениям А и Л. Каждый симметрический оператор имеет два дефектных числа. У максимального симметрического оператора, не имеющего симметрических расширений в данном пространстве, одно из дефектных чисел равно нулю.
Замкнутый симметрический оператор обладает самосопряженными расширениями в данном пространстве тогда и только и тогда, когда его дефектные числа равны. Для произвольных дефектных чисел, как показано М. А. Наймарком [27] для плотно заданного оператора и М. А. Крас-

функции из fj7 равными нулю вне отрезка [0,7]), с объединением Ufj7 плотным в Д.
Выполняется следующее условие:
а) для любого 7 Є Г подпространство ід7 инвариантно относительно Lq к А, (т. е. Lo(Dom(L0) П#7) С fj7 и A(Dom(A) П і}7) С fi7), соответствующая часть Zq оператора Lq , индуцированная в S)1. является плотно заданным регулярным оператором дифференцирования с минимальной областью определения:
Dom Lg = {/ Є 5Э7|/ Є АС(0,оо),/' Є W,f(0) = /(7) - 0}, Ц/ = if
а соответствующая часть А7 оператора А, индуцированная в fj7, является неплотно заданным регулярным оператором:

Dom А7 = {/ £ DomLgl J rl(s)f(s)ds = 0, k = 1

А7/ - if.
Дефектные числа каждого из операторов Lq равны (п, п), а дефектные числа каждого из операторов А7 равны (п + т, п + т).
Как исходный оператор А, так и каждый из операторов А7 обладают бесконечным множеством спектральных разложений (имеются в виду обобщенные спектральные разложения, порождаемые самосопряженными расширениями с выходом в более широкое пространство).
§2. Обобщенные спектральные меры операторов цепочки
Будем использовать следующие обозначения. Для любого 7 Є Г обозначим через Р1 ортопроектор в fy на S)1. Для любого замкнутого подпространства 9? С Sj обозначим через Р ортопроектор в fj на