Об алгебраических уравнениях и областях сходимости кратных гипергеометрических рядов

• Автор: Семушева, Анастасия Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 78 с. : ил.

1 Продолжение исследований Меллина о решении алгебраических уравнений

1.1 Формулировка результатов Меллина для главного решения

1.2 Идея исследования главного решения

1.3 Интегралы Меллина-Барнса и принцип разделяющих циклов

1.4 Доказательство Предложения 1

1.5 Голоморфное продолжение главного решения

1.6 Область сходимости степенного ряда (1.4) для главного решения

2 Области сходимости кратных гипергеометрических рядов

2.1 Формулировка теоремы Горна, униформизация Горна-Капранова

2.2 Доказательство теоремы Горна

2.3 Амебы алгебраических гиперповерхностей и их связь с областями сходимости степенных рядов

2.4 Области сходимости одного класса гипергеометрических
рядов
3 Об областях сходимости рядов, представляющих периоды
на многообразиях Калаби-Яу
3.1 Пример реализации многообразия Калаби-Яу в взвешеннопроективном пространстве
3.2 Пример реализации гиперповерхности Калаби-Яу в тори-ческом многообразии
Заключение
Список литературы

Проблема решения алгебраических уравнений интересует математиков уже более двух тысячелетий. После того как Тарталья, Феррари и Кардано решили уравнения третьей и четвертой степени, появились надежды решить любое алгебраическое уравнение, причем в радикалах. Эти надежды серьезно поколебали Лагранж и Руффини и окончательно развеял Абель [15], доказав в 1824 году невозможность решения общего уравнения пятой степени в радикалах. Дальнейшие продвижения теория алгебраических уравнений получила в направлении трансцендентного анализа, поскольку после работ Абеля и Галуа „алгебра отказалась“ заниматься этим вопросом. Идею аналитического решения уравнений подал Виет и лишь 275 лет спустя ее осуществили Эрмит [24] и Кронекер [28], в 1858 году доказав, что всякое уравнение пятой степени можно решить в модулярных эллиптических функциях. Затем опять потребовалось 126 лет для того, чтобы осуществить идею Кронекера о решении уравнения любой степени с помощью модулярных функций. В 1984 году Умемура [10] доказал, что это можно сделать с помощью тета-функций.
Менее замеченной в истории алгебраических уравнений оказалась статья Меллина 1921 года [29], в которой общее уравнение решается с помощью гипергеометрических функций. В этой статье Меллина решения

образом с сохранением разностных соотношений (2.2) (детали формирования носителя см. в [31]). Специально выбранные в знаменателе (2.11) множители — Г(з^+1) дают мотивацию к выбору положительного октанта 2" в качестве носителя ряда, поскольку для отрицательных целых
в] функция гр^-н) равна нулю. Интересующие нас ряды с „правильной“ областью сходимости - это ряды вида (2.11), где р = г = 1 и.5 = 2":
причем мы не будем требовать целочисленности А и В, полагая А, В Є Кп. Заметим, что ряды вида (2.12) представляют интерес в математической физике [8], где они появляются в теории суперструн в качестве периодов на многообразиях Калаби-Яу.
Основной результат настоящей главы составляет следующая Теорема 6. Если в ряде (2.12) каждый из векторов
имеет координаты одного знака, то граница области сходимости этого ряда задается параметризацией Горна-Капранова:

(2.12)
А (яіі • • • > ап), В (Ьг Ьп)

Эта теорема обобщает результаты о сходимости рядов для общих алгебраических функций [37], [30].