Многомерные классы функций ограниченной вариации и их применение в теории рядов и интегралов Фурье

• Автор: Бахвалов, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 212 с.

Оглавление
Введение

Краткий обзор

Основные определения

Обзор предшествующих результатов

Основные результаты

Апробация

1 Некоторые примеры функций

из многомерных классов Ватермана

1.1 Простейшие свойства функций ограниченной Л-вариации

1.2 «Диагональные» функции

1.3 Другие конструкции функций
2 Непрерывность по Л-вариации
функций многих переменных и вложения классов
2.1 Вложения классов АВУ и САУ
2.2 Сравнение разных определений непрерывности по вариации
2.3 Локальное поведение вариации
2.4 Теоремы вложения для классов ограниченной неполной вариации
3 Сходимость рядов и интегралов Фурье функций ограниченной Л-вариации
3.1 Достаточные условия сходимости
3.2 Примеры расходимости
3.3 Оценки коэффициентов Фурье

4 Неполные вариации и локализация рядов Фурье
4.1 Локализация рядов Фурье непрерывных функций
4.2 Ослабление условия непрерывности
4.3 Существенность условия регулярности
4.4 Локализация квазирегулярных прямоугольных сумм . .
5 Суммируемость рядов Фурье функций ограниченной А-вариации методами Чезаро
5.1 Достаточные условия суммируемости
5.2 Примеры несуммируемости
Список литературы

Введение
Краткий обзор
Работа посвящена исследованию многомерных классов функций ограниченной Л-вариации (классов Ватермана) и задачам сходимости тригонометрических рядов и интегралов Фурье функций многих вещественных переменных из таких классов.
В одномерном случае классической является теорема Жордана о сходимости тригонометрического ряда Фурье для функции ограниченной вариации. Впоследствии рядом авторов (в частности, Н. Винером, Л. Юнгом, Р, Салемом) были построены классы функций ограниченной обобщенной вариации, для которых доказаны аналоги этой теоремы.
В работе [48] Д. Ватерман определил в одномерном случае классы функций ограниченной Л-вариации, в частности, гармонической вариации, и доказал для последних аналог признака Жордана. Ватерманом было установлено, что его признак не слабее предшествующих результатов такого типа. Другие классы функций ограниченной обобщенной вариации в одномерном случае рассматривали, в частности, Е. А. Севастьянов [26], 3. А. Чантурия [28] и в более общем виде — Е. И. Бережной [7, 8].
В двумерном случае Г. Харди [37] определил класс ВУ(Т2) функций ограниченной вариации и доказал сходимость по Прингсхейму ряда Фурье функции из этого класса в каждой точке. А. А. Саакян [22] ввел понятие гармонической вариации функции двух переменных. Он доказал, что для любой измеримой функции ограниченной гармонической вариации ее ряд Фурье сходится по Прингсхейму в каждой регулярной точке (х,у), и сходимость равномерна внутри любого открытого множества, на котором функция непрерывна. В двумерном случае рассматривались также другие классы ограниченной обобщен-

ВВЕДЕНИЕ

В §3.1 находятся достаточные условия сходимости в регулярной точке, а для непрерывных функций — и равномерной сходимости. Вначале доказывается теорема о сходимости интегралов Фурье. В одномерном случае из теоремы В и принципа равносходимости (см., например, [53], т. 2, гл. 16, п.1) следует
Теорема В'. Пусть / 6 НВУ(Ж) П Ь(Ж). Тогда в каждой точке Ж интеграл Фурье / сходится в смысле главного значения к величине |(/(ж + 0) + f{x — 0)), и сходимость равномерна на любом отрезке, лежащем внутри интервала непрерывности функции. Если HBV(Ж) С ABV(Ж) есть собственное подмножество, то найдется функция / € ДВУ (Ж) ПД(Ж), интеграл Фурье которой расходится в некоторой точке (в смысле главного значения).
В многомерном случае свойство равносходимости, вообще говоря, не выполняется (см., в частности, работу И.Л.Блошанского [9]), более того, сходимость интеграла Фурье может существенно зависеть от поведения функции в окрестности бесконечности. Поэтому вопрос о представимости функции интегралом Фурье представляет самостоятельный интерес. Наш основной результат состоит в следующем.
Теорема 3.1. Пусть / € L(Rm) П HBV(Жт). Для заданных <5 > 0 и В > 5 и точки х Е Мт положим
Es,b(x) = (t € Мто : 3j xj - tj ^ 5, 3k xk - tk ^ B}.
Тогда в каждой регулярной точке х 6 Мт функции /, для которой выполнены два условия:
(А) ^
п 2 Ун(х> х+£5))= 0>
||<5|и+0се{-1,1}т
(Б) найдутся 6о > 0 и В > ёо, такие, что / Е CHV(А) для любого параллелепипеда А С ^д(х), имеет место равенство
lim ©А(/,х) =/*(х).
А—Н-оо
Здесь А —» +ос означает, что min А-7 —» +оо, то есть сходимость по-

нимается в смысле Прингсхейма.
На основе этой теоремы мы получаем следующую теорему о рядах Фурье, которая обобщает первую часть теоремы J. Мы избавляемся