О сходимости и суммируемости тригонометрических и общих ортогональных рядов Фурье

• Автор: Карагулян, Григорий Арташесович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 178 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. ОДНОМЕРНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

§1. Расходимость сильных Ф-средних рядов Фурье

§2. Стремление к бесконечности рядов Фурье по плотным подпоследовательностям номеров

§3. Оценки частичных сумм рядов Фурье-Стилтьеса случайных мер

§4. Экспоненциальные оценки оператора Кальдерона-Зигмунда и смежные вопросы рядов Фурье

§5. Экспоненциальные оценки частичных сумм рядов Фурье по системе Уолша и

по переставленной системе Хаара

Глава 2. КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ИНТЕГРАЛОВ

§1. Двойное преобразование Гильберта и экспоненциальные интегральные оценки

прямоугольных частичных сумм двойных рядов Фурье
§2. О точной оценке роста прямоугольных интегральных средних функции из
класса Ьг(Нп)
§3. Необхадимое и достаточное условие дифференцируемости интегралов случайных мер по прямоугольникам
Глава 3. ОБЩИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
§1. Об эквивалентных ортонормированных системах
§2. О подсистемах сходимости с логарифмической плотностью номеров..
§3. Оценки частичных сумм общих ортогональных рядов из Ь
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
В теории ортогональных и тригонометрических рядов важное место занимают вопросы сходимости и суммируемости. Еще в первой половине 20-ого века фундаментальные результаты в этом направлении были получены Д.Е.Меньшовым, А.Н.Колмогоровым, А.Зигмундом, И.Марцинкевичем, С.Банахом, В.Орличем и другими. В дальнейшем теория ортогональных и тригонометрических рядов продолжала бурно развиваться как в СССР так и во многих других странах (Польша, Венгрия, США и др.). Были получены важные теоремы П.Л.Ульяновым, А.М.Олевским, Е.М.Никишиным, С.В.Бочкаревым, Б.И.Голубовым, К.И.Осколковым, Б.С.Кашиным, С.В.Кон-ягиным, К.Тандори и другими. В 1966г. Л.Карлесоном была подтверждена гипотеза Н.Н.Лузина о сходимости почти всюду рядов Фурье из X2. Ранее, еще 1923г., А.Н.Колмогоровым был построен пример, расходящегося почти всюду ряда Фурье.
Остаются открытыми многие вопросы о природе поведения частичных сумм рядов Фурье из X1.
В настоящее время бурно развивается также теория кратных рядов Фурье. Отметим, что многие свойства одномерных рядов Фурье не верны для кратных рядов. Одним из примеров этого факта являются теорема Ч.Феффермана [78], утвеждающая существование непрерывной на квадрате функции, ряд Фурье которой расходится почти всюду по прямоугольникам, а также результаты С.В.Конягина [32] и Р.Д.Гецадзе [31], о существовании кратного ряда Фурье, расходящегося по мере по прямоугольникам.
В главах 1 и 2 диссертации получены новые оценки о поведении частичных сумм одномерных и кратных рядов Фурье. Некоторые из этих оценок получены как следствие, доказанных в диссертации более общих результатов о дифференцировании кратных интегралов и о свойствах преобразования Гильберта. Получены также оценки частичных сумм рядов Фурье-Стилтьеса случайных мер.
В главе 3 диссертации мы рассматриваем общие ортогональные ряды. Изучаются вопросы сходимости почти всюду а также сходимости в Хр на множествах большой меры ортогональных рядов из класса X2.
В первых двух параграфах главы 1 мы рассматриваем расходящиеся почти всюду (п.в.) ряды Фурье. Отметим, что история расходящихся тригонометрических рядов Фурье начинается с примера А.Н.Колмогорова. Результаты и задачи этой тематики детально обсуждаются в обзорной статье П.Л.Ульянова [72].
В параграфе 1.1 строится ряд Фурье, сильные свехэкспоненциальные средние которого расходятся п.в.. Этот результат обобщает теорему А.Н.Колмогорова и в то же время является решением одной задачи В.Тотика.
Классическая теорема Марцинкевича-Зигмунда (см. [19],[20] а также [2] стр. 275) утверждает, что ряды Фурье сильно р-суммируемы п.в.. Точнее, имеет место
Теорема А. Если / £ Х!(Т) и р > 0, то имеем
Пт - У^(|5*(я,/) - /(х)|р + SkixJ) - /(ж)П = 0 п.в. .
71—^00 п *-

В связи с этим В.Тотиком 1983 г. была поставлена задача: для каких непрерыных возрастающих Ф(£) : [0, +оо) —> [0, +оо), Ф(0) = 0, ряды Фурье сильно Ф-суммируемы п.в., т.е.
при любой / £ -^1(Т) (см. К.И.Осколков [21])?
Тотик высказал гипотезу, что необходимым и достаточным условием для выполнения (0.1) п.в. является
Отметим, что аналогичная задача, о равноменой сходимости средних (0.1) в случае, когда /(ж) непрерывна, расматривалась Тотиком ранее в работах [34] и [35]. Он установил, что условие (0.2) необходимо и достатачно для того, чтобы (0.1) выполнялось равномерно при / € С'(Т).
Первый результат в связи с поставленной задачей был получен К. И. Осколковым [21]. Он доказал, что (0.1) имеет место при log$(i) = 0[t/log log t). В.А.Родин [18] и Л.Д.Гоголадзе [17] установили, что условие (0.2) достаточно для сходимости п.в. средних (0.1) для рядов Фурье и для сопряженных рядов Фурье.
В параграфе 1.1 доказывается, что выполнение условия (0.2) также необходимо для сильной Ф-суммируемости п.в. рядов Фурье и сопряженных рядов Фурье.
Теорема 1.1.1([91]). Пусть для непрерывной возрастающей функции Ф(£) : [0, +оо) —5- [0, +оо),Ф(0) = 0, имеем
почти всюду на Т.
Перейдя к следующему параграфу, отметим, что согласно примеру Колмогорова неограниченно расходящегося п.в. ряда Фурье существует функция / £ Ь1(Т) такая, что для почти всех х £ Т можно найти возрастающую последовательность натуральных чисел {«^(ж)}^! ДЛЯ которой
Возникает вопрос: насколько плотной может быть последовательность {тг,]ь(ж)} в (0.3)? В параграфе 1.2 строится пример функции, у которой расходимость п.в. проявляется по экстремально плотным номерам частичных сумм.
(0.1)
log#(f) = O(t) (t -4 +оо).
(0.2)
t—*+oo t
Тогда существует f £ 1/1(Т) такая, что
= оо.
k—too
lira Snk{x)(x,f) = +oo.
(0.3)

Имеем
! ^N^^{^<9). (1.2.22)

Используя неравенство Кп(£) < 5/(п + 1)Ь2 (см. [1] стр.151), получим

Ям,мАЬ) < ^
Отсюда, в силу ш > Д(ЛГ) > 40(Ш3 (см. (1.2.14)), имеем
| |1] > (1.2.23)
Отсюда же, обозначив
^ 31У
PN,M,m{x) = — ^ <3лг,М,т{х ~ 9к), (1.2.24)

получим (см. (1.2.12), (1.2.23))
{х 6 Т : |-Рл/,м,т(ж)| > 1} <
и следовательно имеет место (1.2.9). Из (1.2.21) и (1.2.24) следует, что имеет место также (1.2.7). Учитывая (1.2.22) и (1.2.24), получим (1.2.8). Теперь пусть

<п<М, А"(<) (1.2.25)
«(IV)
(см. (1.2.16)), и
^ — ^1 > 12^ ’ & = (1‘2-26)
Отсюда, в силу (1.2.19), (1.2.21), (1.2.24), (1.2.16) и (1.2.25), получим
^ зіч (;нт)лг
5(р+1)лг(і,Рлг,Мл,і) - ЗрлК^-Рлдлт.т) = ^ ^ соэ і/(і - ^) > с 1о§ IV. (1.2.27)
С другой стороны, легко видеть, что для таких же п, р и £ имеем (см. (1.2.20’), (1.2.24)) ^(р+1)Лг(£) -РлГ,М,т) 4" -РлЛМ,га) ==
^ ЗІЧ
ЗДГ У^Ср+Р^* — 0*0 + -С>ріу(£ — 0*0) — 2І^2тЛГ-і(і — 0*0 + -^тіУ'~і(^ “ 0*0"