О приближении операторами Баскакова функций, имеющих конечное число точек разрыва производных

• Автор: Шерстюк, Татьяна Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Чита
• Количество страниц: 77 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Приближение операторами Баскакова функций с разрывными

производными

1.1. Тригонометрические операторы Баскакова и некоторые их свойства

1.2. Поведение величины Мп {fit), х + 2 гп~'), если х - изолированная

точка разрыва /СО(

1.2.1. Оценка величин Mn{t',0), Mn{t',—) и некоторых дру-

1.2.2. Вспомогательное утверждение

1.2.3. Оценка приближений 2п -периодических функций вблизи
точки, где f^(f) имеет разрыв первого рода
1.3. Свойства функций Ф, (/)
1.4. Элементарные свойства функций Ф, (т) при т=
Г лава 2. Линейные комбинации операторов Баскакова
2.1. Вводные замечания
2.2. Линейные комбинации операторов и МА)
2.3. Линейные комбинации операторов M[fm, МЦ](2) и Mfm
Заключение
Приложение
Приложение
Литература

Введение
По всей видимости, как самостоятельная часть математики теория приближений ведет начало с работы П.Л. Чебышева [29] 1854 г., в которой он задается вопросом: как наилучшим образом приближенно представить заданную функцию?
В 1885 г. Вейерштрасс доказал, что каждая непрерывная функция на отрезке может быть с любой степенью точности приближена полиномами. Этот результат натолкнул на мысль искать связи между свойствами функций и скоростью приближения ее полиномами. Функции с одинаковой скоростью приближения образуют некоторый функциональный класс. Приближение целых функциональных классов тригонометрическими полиномами начато в трудах Лебега, Валле-Пуссена, Фейера, Бернштейна, Джексона [28] и продолженное затем в работах Колмогорова, Корнейчука, Крейна, Стечкина, Никольского [25] и многих других, нашло весьма полное освещение во многих монографиях и обзорных статьях.
Первым методом нахождения тригонометрических полиномов, приближающих периодические функции, явился метод, основанный на построении рядов Фурье [12].
Однако, в 1876 году П. Дюбуа-Реймон построил пример непрерывной 2яг-периодической функции, ряд Фурье которой не сходится равномерно [28].
Для периодического случая первый пример приближающей последовательности был построен в 1904 г. Л. Фейером. Было выявлено, что операторы Фейера, решая проблему равномерного приближения непрерывных функций, являются, тем не менее, весьма «некачественным» аппаратом приближения. Они приближают любую дифференцируемую
функцию с порядком 0(п~1) (в том числе и «и/). В 1911 г. Д. Джексон предложил операторы, приближающие дважды дифференцируемые функции с порядком 0(п 2). Операторы Фейера и Джексона укладываются в
некоторую общую схему. Они получаются с помощью так называемых методов суммирования рядов Фурье.
В дальнейшем было предложено большое количество других аппроксимирующих операторов, получаемых с помощью методов суммирования рядов Фурье. Среди них операторы Зигмунда и операторы Коровкина [23].
В работе В.А. Баскакова [9] была предложена аппроксимирующая последовательность, относящаяся к тому же классу. В 2001 г. В.А. Баскаков [10] нашел аналитическое представление множителей суммирования, таким образом, ввел понятие - тригонометрические операторы Баскакова.
Среди последних работ по аппроксимативным свойствам операторов следует отметить статьи Ю.Г. Абакумова [2], Е.С. Коган [21], Т.В. Дубровиной [13].
Во второй половине двадцатого столетия идеи и методы теории аппроксимации находят свое применение в различных разделах математической науки, в том числе прикладного характера (теория приближений, теория обработки сигналов), по этой причине данная тематика остается актуальной.
Цель диссертации состоит в получении универсального вида оценки приближения операторами Баскакова функций, имеющих изолированные точки разрыва производных, и исследовании свойств функций, фигурирующих в этих оценках, от приращения аргумента которых зависит поведение главного члена в асимптотическом разложении.
В работе используются отработанные в исследованиях по теории приближений (С.М. Никольским, П.П. Коровкиным, С.Б. Стечкиным и др.) приемы преобразования операторов типа свертки.
В диссертации рассматривается приближение периодических функций специального вида (точнее будет сказано далее) тригонометрическими полиномами. Норма разности функции и полинома определяется ра-

як кл
2- sin 2udu іг sin2 udu
с sm uau r
Так как —-----------------------------;——- —— < I
j 71111 А- ІГТгЛі 11 -4- / 7Г К. J
u{u + kn){u + 2як) ' и(2як - и)(кк - и)
, получаем
, 2 "г sin tdi ч ,2 Г sin {кпи) ,
<>(0)=2rfi^F^=2rt fp.Cq-V)
(•sin2(^w)
з- t(n2k2-t1) $k n u(l-u )
2кя ~г
(сделана замена t-кяи). Итак, Ф.(,4А(0) = 2ж 1 f - du, отсюда
3 м(1-М )
г du /4ч
'iwv^i - J , 2 JT4 , то есть Фцк)(®) равномерно по к ограничено.
и(и -1)

Установленные выше факты, с учетом очевидного неравенства ФЦ!) (0) > ФцА) (0) (т.к. при 1 є
0, — кп
выполняется неравенство
t (я к — t ) < t(kn — t){kn + Z1)), исчерпывают доказательство теоремы 1.3.
Согласно теореме 1.2 (с учетом замечания после доказательства) имеем
d®(r) олч / Ч ,2°? sin21 ,
~dr = = - _,.)*• С'25»
Теорема 1.4. Фх (г) (при m — 1) на отрезке [0, Л0 ] убывает, при этом Ф^Ло) < ® j на [Я0,<х>) возрастает и стремится к нулю, при этом Я0 — решение уравнения ФоО”) = 0, то есть Л0 удовлетворяет равенству 00 sin
г OU1 1 , „
-Є) (L26>