Сходимость и расходимость почти всюду рядов Фурье по переставленным системам Уолша и Виленкина

• Автор: Поляков, Игорь Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 75 с.

Оглавление
Введение
0.1 История исследований в области сходимости почти всюду рядов Фурье
0.2 Расходимость рядов Фурье
0.3 Методы суммирования рядов Фурье
0.4 Структура и краткое содержание диссертации
1 Основные определения и вспомогательные утверждения
1.1 Системы Уолша и Виленкина
1.2 Шипповские перестановки системы Уолша-Пэли
1.3 Аналог Шипповских перестановок для системы Виленкина-Пэли, условие блочности
1.4 Специальные классы Шипповских перестановок Р и {Рк}, к = 1,
1.5 Ряд Фурье и его средние
1.6 Сублинейные операторы сильного и слабого типов на пространствах интегрируемых функций
2 Расходимость почти всюду для перестановок системы Уолша
2.1 Обобщение оценки Шнейдера для ядер Дирихле по системе Уолша-
Качмажа
2.2 Примеры расходящихся почти всюду рядов Фурье по системе Уолша-
Качмажа
2.3 Пример расходящегося ряда Фурье по перестановке системы Уолша
из класса Рк
2.4 Пример расходящегося ряда Фурье по перестановке системы Уолша
из класса Р

3 Расходимость почти всюду для системы Виленкина
3.1 Обобщение примера Бочкарева для системы Виленкина
4 (С, 1)— суммируемость
4.1 Равномерная (С,1) суммируемость по переставленной системе Уолша
4.2 Поточечная (С, 1) суммируемость для системы Вилеикина-Качмажа

Введение
Одним из направлений теории ортогональных рядов является проблема поточечной сходимости ( расходимости ) ряда Фурье интегрируемой функции к данной функции. Диссертация продолжает исследования в этом направлении. Изучаются вопросы расходимости рядов Фурье интегрируемой функции по системам Уолша и Виленкина и их перестановкам. Также изучаются вопросы поведения (С, 1) средних ряда Фурье по системам Уолша и Виленкина.
0.1 История исследований в области сходимости почти всюду рядов Фурье
Изучение проблемы поточечной сходимости рядов Фурье впервые началось в теории тригонометрических рядов. В 1915 году H.H. Лузин публикует свою диссертацию "Интеграл и тригонометрический ряд" [1] ([2]). К числу основных результатов работы [1] принадлежит критерий сходимости почти всюду интегрируемой с квадратом функции:
Теорема I (Лузин). Пусть f 6 L2[0,2П). Тогда ее ряд Фурье сходится почти всюду тогда и только тогда, когда почти всюду выполнено соотношение
сопряженная функция к /.
Отметим, что в работе [1] доказана
Теорема II (Лузин). Для всякой функции / € Т2[0,2П) ее сопряженная функция существует и также принадлежит Ь2[0,211).
(0.1)

Утверждение 2.4. Для всякой положительной и возрастающей последовательности {A4, такой что

Ef = °°

выполнено:
Df(x) - D(x) iim sup sup —-—=
п-К» 2п~1<г<2п Ап
Доказательство. Поскольку для всякого х отличного от 0 начиная с некоторого п верно £>2” (4 = 0 получаем, что для х ф О
Df(x)-D_1(x) | Df(x)
lim sup sup — =limsup sup -—*
n-+ oo 2n~1 oo 2n~1 Бесконечность второго предела следует из Леммы 2.1, если применить ее к последовательности {д4> определенной следующим образом
ßn = 2k, 2к~г <п< 2к.
Вернемся к доказательству Теоремы 2.1.
Покажем, что для всякой F(u) = uf{u), где f(u) - неубывающая непрерывная на [0, оо) функция, /(0) = 1 и /(и) удовлетворяет условию
f(u) = o(logu), при и —У оо,
существует такая функция g 6 F(L), ряд Фурье-Уолша-Качмажа которой расходится почти всюду на [0,1).
Выберем последовательность {fj}, удовлетворяющую условиям
1- supa;<9(2i) J-j < fjt
2- fi+1 < fj,
3. f:i~ f;in< jib-
4. lim
Существование последовательности, удовлетворяющей первому и последнему свойствам следует из свойств функции /. Добиться выполнения второго свойства можно перейдя к