Линейные средние рядов Фурье функций нескольких переменных

• Автор: Нахман, Александр Давидович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 109 c. : ил

Пусть Х^Х^.-.Хд) »У=('У1...Уп) ~ произвольные точки /векторы/ вещественного Л -мерного пространства^ (П , (ХУ} -скалярное произведение в Ец , С}, функции/Гх;-= //Х^_ ) - измеримы на С? , ^/7-периодичны по всем переменным У ■ ,
(У#)- //«Г

Ц?*Ч)П(0) = 1 ^(хУМ(гМ1)№ бШП. ">

(С {([1 ~ класс непрерывных /ГХУ . Каждой функции /{[.(Я) сопоставим ее И -кратный ряд Фурье

5{М= Г ... Г Ск А V > /ол

где К- пробегают-'множество всех целых чисел П. /, а

I/«-г

- комплексные коэффициенты Фурье.

Как известно, уже в одномерном случае ряды Фурье, вообще говоря, не пригодны в качестве аппарата представления произвольных функций; так, например, существует(Е (0.^), ряд Фурье которой расходится в некоторой точке /результат дю-Буа-Реймона, см. [I] , т.1, с.470-476/; для функций из класса I. ) расходимость может иметь место почти всюду и даже всюду /результат А.Н. Колмогорова; см. [I] , т.1, с.480-494/. Эти и другие примеры / [I] , гл.8/ приводят к необходимости рассматривать некоторые процессы, построенные с помощью разложения /0.1/ и сходящиеся к /(X) почти всюду или по метрике пространства, которому принадлежит / (X)
В 1904 г. Фейер доказал, что последовательность средних арифметических частных сумм ряда Фурье /И г1/ имеет пределом /(х) в каждой точке непрерывности функции ± ; позднее Лебег
установил, что для всякой ШЧ) сходимость такой последовательности к /(X) имеет место почти всюду /см. [I] , т.1, с.148-152/.
Рассматривая применение к рядам Фурье методов суммирования, используемых в теории расходящихся рядов, в 1948 г. С.М.Никольский поставил и решил задачу в следующем общем виде / [2] , с. 472-482/: какие условия требуется наложить на последовательность
Щт МЛ--;№=(!<,., ^У'Г; /ГЧ' /Г-Ч /о.з
чтобы можно было утверждать, что
& у Хга,СДЫ€11" /0.4
/Л->оО Кг-/т?
почти всюду и в точках непрерывности? Его исследования положили начало целой серии результатов, относящихся к этому вопросу; см.
[3] и библиографию в [3] , [4] , [5]
Переход к кратным рядам Фурье вносит своеобразие в формулировки и методы доказательства результатов уже тем, что само определение частичной суммы ряда /0.I
5 4,ХУ у сМеШ> /0.5
"И К (У к
зависит от вида множества. В литературе /см. статью [6] ,
содержащую обширную библиографию, [7 ] - [9] и др./ изучаются
вопросы, связанные, в основном, с формой "прямоугольной"
/суммы /0.5/ называют тогда суммами по Принсхейму/ или "сферической"; имеются также исследования приЙ-<2 в случаях, когда V - "гиперболический крест", ромб и др. /см.[10] - [13] /.
Для кратных рядов Фурье уже не справедлив аналог результата Карлесона [14] об их сходимости почти всюду к функциям из{5 : существует / С 15] / непрерывная/0^), ряд Фурье которой расходится по Принсхейму всюду. В связи с этим повышается интерес к методам суммирования разложений /0.1/. В диссертации рассматриваются операторы

6^ (1) — £Г»^ (/;Х;2^) — ..х^ (£"> ^1 • ■ • ^ А. )
— V V _/Д /"V > ) Г {г]л1^У1+.--+К,-,Хп)
п *~*п /0,6/ /терминология: линейные средние, Д -средние, полунепрерывные
средние ряда /0.1/ /, построенные с помощью последовательности функций Дк(г) кп(..Л]) /см* ниже соотношения /2.1.1/ /, аргументы Ту 10±Х.С{ / которых принимают "непрерывные" или |Ц’
дискретные /Т--^~р/И|=0,4,... / значения. Одной из основных задач является получение условий Л-суммируемости к / разложений /0.1/, т.е. выполнения соотношения
1 е^х^^ас, /0.7
почти всюду в или по метрике пространства, которому принадлежит/ . При этом значительное внимание уделяется вопросам ограниченности операторов -весовых пространствах. Об актуальности тематики, связанной с изучением максимальных операторов, весовых пространств, суммируемости простых и кратных рядов щурье свидетельствуют многочисленные исследования, имеющиеся по этим вопросам, особенно в последние годы. Кроме уже цитированных работ и библиографии в них, см. также следующие статьи и монографии: [16] - [18], [19], [20]- [2б] , [27] , [26]-[36] , [37] , [38], [39]/с.307-324/, [40], [41]/с.478-585/, [42]-[6II.
Дадим краткое описание основных результатов; точные формулировки см. в соответствующих главах. §1.I главы I посвящен обобщению и улучшению известного условия А.В.Ефимова [ 3] Д-суммируемости при 11 ~{ ряда /0.1/ к ;ещ) почти всюду. В §1.2 получены оценки роста -А -средних одномерного ряда Фурье и сопряженного ряда в метриках весовых пространств |_^ //371/,
возникающих в случаях, когда на отрезке (■? задана абсолютно
* 5 ®
где Щ И) _ произвольный блок, имеющий, например, вид
£ К.-1 ЛК(г,1 (п/*'+1,^))(Дй Ф) /2.2. к
/здесь суммирование ведется по всем точкам с целочисленными
координатами из множества
■ У о г
Щ Год-пм/ й Ц-Ч00)/
-1 / -1
Последовательно применяя по переменным к интегралу ж дг д,
| Р* ... ] I/^Iк +1 ^ п^^ п
-л ч -л п п
соответствующие оценки из леммы 2.2.3, а затем неравенство /2.2.6/, в силу замечаний 2/- 3/ к лемме 2.2.3 и /2.1.5/, полуЛюбой другой "блок" рассматривается также, как /2.2.15/. Теорема доказана.
Отметим возможность рассмотрения вместо абсолютно непрерывных мер и 9 с ^=и(Х)ЛХ и ^=0)(Х)с1х произвольных мер и А) /см. [38] ,[61]/.
В следующих двух теоремах Ы(Х) Е=сО(Х) и мы применяем обозначение ^б/1р , если выполнено неравенство /2.2.1/.
Теорема 2.2.2 . Предположим, что /Д7И
и выполнены условия /2.1.8/, /2.1.9/. Тогда справедливо соотношение
6т 116-, Дм II =0 Гр7/М /2.2.16
/тип т->1 *•
Доказательство. Можно исключить случаи, когдабО(|:1_[0.) или Од- 0 на некоторомЕсь} с |Е|?0 , т.к. в этих случаях