О совместных приближениях решениями эллиптических уравнений в пространствах обобщенных функций

• Автор: Воронцов, Артем Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 58 с. : ил.

Глава 1. Редукция в задаче совместной аппроксимации

§1.1. Предварительные сведения

§1.2. Формулировка и доказательство теоремы 1.1 (основной теоремы о редукции) и ее следствий
§1.3. Примеры применения теорем 1.1 и 1.2 и пример отсутствия совместных приближений

§1.4. Совместные приближения полиномиальными решениями ОЭУПК

Глава 2. Оценки VЬ-вместимости компактов в ШД

§2.1. Формулировка и доказательство теоремы 2.1. (о нулевой V //-вместимости)

§2.2. Оценки Ст-вместимости компактов в МЛ' (формулировки теорем 2.2-2.4)

§2.3. Доказательства теорем 2.2 - 2

§2.4. Некоторые примеры применения теорем 2.2-2

Список цитированной литературы

Теория равномерных аппроксимаций голоморфными и гармоническими функциями - глубоко исследованная область комплексного анализа и теории потенциала, базовыми результатами которой являются теоремы Вейерштрас-са (см. [1], Гл.8, §2.2), Рунге [2], Уолша-Лебега (см. [3], с.56), Лаврентьева (см. [3], с.70), Келдыша-Дени ( [4], [5]), Мергеляна [6], Витушкина [7]. В работе А.Г. Витушкина [7], посвященной вопросам равномерного приближения функций рациональными дробями на компактах в С, был предложен локали-зационный метод, который в дальнейшем получил распространение на задачи аппроксимации функций решениями (произвольных) однородных эллиптических уравнений с постоянными комплексными коэффициентами (ОЭУПК) на компактных множествах X в Ел’ в нормах (топологиях) различных классов функций. В работах А.Г. О’Фаррелла ( [8], [9]), Т. Бэгби [10], Дж. Вер-деры ( [11], [12], [13]), П.В. Парамонова [14] и других авторов (см. [15], [16] и обзор литературы в этих работах) были получены аналоги известных емкостных критериев Витушкина для большинства задач аппроксимации функций решениями ОЭУПК на компактах в Ж^ в метриках пространств Ьр, 1лра, Ст, ВМО, ІГф После того, как А.Г. О’Фаррелл [17] доказал инвариантность (и непрерывность) оператора Витушкина в широком классе так называемых "конкретных банаховых пространств" - КБП (так О’Фаррелл назвал линейные подмногообразия в (Сд0)* = (С'о°(Жлг))* со своими банаховыми нормами и определенным набором свойств, см. §1.1 далее), появился цикл работ, посвященных задачам аппроксимации (обобщенных) функций решениями ОЭУПК в нормах КБП на замкнутых множествах X в ЖУ Их результатами стали "абстрактные"аналоги локализационной теоремы Бишопа, теорем Рунге, Рот, Нерсесяна, Аракеляна (см. [18], [19]), а также ряд других утверждений, важных в приложениях. В частности, были получены новые интересные результаты о граничных свойствах решений общих ОЭУПК (см. [20], [21]). Тем не менее, "абстрактных"аналогов емкостных критериев Витушкина для КБП получить не удалось: даже сам по себе емкостный подход в контексте общих КБП представляется весьма громоздким.
1 Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проекты №00-01-00618 и №04-01-00720) и программы "Ведущие научные школы Российской Федерации "(проект НШ-2040.2003.1).

В указанных выше работах каждая из аппроксимационных задач посвящена приближениям в некоторой фиксированной норме, которая обладает определенными свойствами однородности и инвариантности. Ясно, что такие приближения не могут учитывать различные свойства гладкости приближаемых функций на разных подмножествах в X. Таким образом, весьма естественно возникает задача о совместной (одновременной) аппроксимации в нескольких (для начала в двух) различных нормах на (двух) разных компактах Хх и Х2. X = ХЦ>Х2. Этой тематике посвящен ряд работ (см., например, [22], [23], [24] и цитируемые там работы), где соответствующие нормы или топологии являются классическими: равномерная, поточечно-ограниченная, липшицева. В контексте аппроксимации в произвольных КБП данная задача рассматривается впервые. В принципе, возможен целый ряд различных постановок этой задачи. Наиболее естественным на наш взгляд является уитниевстй подход, развитый в контексте "абстрактных"аппроксимаций в одной норме в работах [18], [19], [21].
Основной целью первой главы является получение "редукционной" теоремы (теоремы 1.1), сводящей задачу совместной аппроксимации в нормах двух КБП к задачам аппроксимации в каждой из этих норм но отдельности (последние задачи считаются априори решенными). Главная трудность здесь состоит в том, что соответствующий локализационный оператор Витушки-на, играющий существенную роль в таких задачах, как правило оказывается не инвариантным в естественным образом возникающих пространствах аппроксимации. В связи с этим локализационная теорема получена при некоторых ограничениях на множества Х и Х2 [X = Х и Х2), на которых осуществляется аппроксимация. Аналогичные ограничения возникают уже в простейших случаях равномерной рациональной аппроксимации (см. [25]), когда приближения исследуются на объединении двух компактов, на каждом из которых нужная аппроксимация имеет место. В качестве иллюстраций в главе 1 приводится ряд следствий теоремы 1.1, являющихся новыми даже для таких классических пространств аппроксимаций, как Ст(Млг). Приводятся также примеры отсутствия совместной аппроксимации, указывающие на существенность ограничений, указанных в теореме 1.1.
Вторая Глава IIосвящена исследованиям специальных функций множеств -так называемых вместимостей компактных множеств в ВА, тесно связанных с задачами аппроксимации решениями ОЭУПК (в частности, с условием

Для всех р £ {I Р} выберем некоторые Хр 6 Кр. Тогда
!Р = | I (УЛ/ - 1о),п)(1а =
I [ У
= / “ ЛХ*) - А/(/ - /о)(жР))тгДх)сгсг
здр •?'
л _£
^ / Е1^(/-л)(*)-ад-/о)(*,)|лт<
<21У тах ||ТД/-/о)||^ [ х - хр^а < •7е{1,-У} г X
< 2N тах ||1у(/ - ЛЛ^сМат(КР)ГЗ(КР).
Следовательно,
1 <2АГ^ тахп||1,-(/-/о)||;^(Дат(Кр)ГД(Др) < <27У(Лт,Д^) + е)(5;(АГ,5)+р).
Устремляя е, <5 и р к нулю получаем
иШ(К) < 2МАтук)з;(к).
Окончательно, учитывая оценку (2.7), находим
Л <К)> и
1 - 2ДГЛ, 5ЦА')'
Доказательство теоремы 2-4■ Пусть сначала те {0 г — 1}. Введем в рассмотрение функцию
{сНэ^а:, дК) при х € К,
О при х е К.
По предположению К0 ф 0, следовательно <1{х) есть функция тождественно не равная нулю. Хорошо известно (см., например, [35], гл.6, §2, теорема 2), что для компакта К найдется функция В е ВС0 П С°°(К°) с условиями:
й(х) = <1к{х)
АД(х) < Р(х) < А2(1(х) при х €

„ЛГ