Кубатурные формулы на развёртывающихся поверхностях

• Автор: Носков, Михаил Валерианович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 108 c. : ил

ОПАВЛЕНИЕ

§1. О содержании диссертации

§2. Обозначения и предварительные сведения

Глава 1. Кубатурные формулы для приближенного интегрирования

периодических функций

§1, Инвариантные формы групп преобразований тора на

себя

§2. Построение кубатурных формул-для периодических

функций
Дополнение

Глава 2. Приближенное интегрирование функций, периодических

по некоторым переменным
§1. Декартовы произведения интерполяционных операторов
§2. Формулы для интегрирования функций, периодических
по некоторым переменным
§3. Декартовы произведения кубатурных формул
Глава 3. Асимптотически оптимальные последовательности кубатурных формул на решётчатых поверхностях
§1. Последовательности функционалов на решётчатых поверхностях
§2. Асимптотическая оптимальность последовательностей кубатурных формул с пограничным слоем на решётчатых
поверхностях
Дополнение
Литература

ВВЕДЕНИЕ §1. О содержании диссертации
Задача о построении кубатурных формул для приближенного вычисления интегралов является одной из классических задач теории вычислений. Суть её состоит в следующем. Пусть О - ограниченная или неограниченная измеримая область в П -мерном евклидовом пространстве Е*1. Кубатурной формулой называется выражение
. N
I y(x)f(x)dx Cjf(xJ), (1)

где Задача приближенного интегрирования состоит в том, чтобы сумму стоящую в правой части (1) подобрать с учётом выполнения тех или иных заранее заданных свойств кубатурной формулы (1).
Например, в классической постановке задачи, выбор узлов и коэффициентов Cj ведётся таким образом, чтобы формула (1) была точна ( обращалась в точное равенство ) для всех функций некоторого множества Ф при минимальном или фиксированном числе узлов Ж
Обычно за множество Ф берётся множество алгебраических или тригонометрических многочленов, степени которых не превосходят некоторого фиксированного числа.
Пусть В - некоторое банахово пространство функций , вложенное в пространство непрерывных функций С
грешность кубатурной формулы (1)
!/(*)£(х)с1х-Щ (2)
а г"'
является функционалом погрешности кубатурной формулы (1) в сопряжённом пространстве В* . Ввиду того, что функционал (2) аддитивный, однородный, а в силу вложения 3 в С и ограниченный, то погрешность интегрирования оценивается неравенством

а исследование кубатурной формулы проводится с использованием
оценки
£*., характеризующей, в некотором смысле, качество кубатурной формулы.
Например, можно выбирать узлы Я'* и коэффициенты С: ,
чтобы достигался
№. 11^11

по всем ‘2"/. £Г , удовлетворяющим некоторым требованиям.
При приближенном вычислении кратных интегралов любые задачи осложняются тем, что появляется новый по сравнению с одномерным случаем параметр - форма области интегрирования. Кроме того, внедрение полученных формул затрудняется быстрым ростом необходимых вычислительных операций при увеличении точности формул или кратности интеграла, как при построении формул,так и при их использовании.
Исследованиями формул приближенного вычисления кратных интегралов занимались многие авторы. Например, исследование куба-турных формул в классах функций проводилось в монографиях Бах-

гДе^Л11ЕХ'Е> удовлетворяет (1),
ПУсть(^} , {К } - последовательности интерполяционных операторов на п. , разложимых в декартово произведение операторов из последовательностей равномерно распределённых операторов на соответственно:
КА- 2 */;
Гев^Ш) Г^в&СО)
где ■ Л' .г*Ш- интерполяционные опфаторы соответст-
/С л//1
вующие операторам К , У в определении 4, ^ е 3% (Ц),
- л**},
где У^у, , - составляющие операторов У; , У/ ( см. (2)
4 4 '
в определении 4 ), £> = О. ® С2, с Е , <*> <х,у>€ Ь* (О)
КЬ?(£2) 1г«>„ у. *
м<х.у>(У-У*1!)с1хс1у,

(**,()= | ои<х,у>(У- КА1 )<х,у> -

, тх
- функционалы из и- (и) и
С7)
/• || < к ц #/ || /4
где К>0 и не зависит от Е и си<Хи>, I = 1, 2.
Лемма 3. При /4 —> О
II исх,у>(УЛ- К^> ()<Х,у><4хс4у|| =о(Ат).
О “ '