Асимптотические свойства некоторых ортогональных систем

• Автор: Приходько, Максим Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 51 с.

Глава 1. Информационная энтропия

релятивистского атома водорода

1 Введение

2 Волновые функции связных состояний в координатном и импульсном представлении

3 Асимптотическое поведение энтропии

4 Принцип неопределенности

Глава 2. Информационная энтропия

релятивистского гармонического осциллятора

1 Решение уравнения

2 Вычисление энтропии

в координатном представлении

3 Соотношение неопределенности
Список литературы

Диссертация относится к классическому разделу математического анализа — она посвящена изучению асимптотического поведения ортогональных систем, связанных с классическими ортогональными многочленами и другими классами специальных функций.
Дано приложение полученных асимптотических формул к задачам тео-решческой физики, а именно к теории водородоподобного атома и гармонического осциллятора в модели Козлова-Никишина.
В начале введения мы даем краткое описание этой модели, которая порождает ряд интересных ортогональных систем, изучению которых посвящена диссертация.
Затем формулируются основные результаты диссертации.
Предшествующие работы в этом направлении (см. ссылки ниже) были посвящены решению аналогичных задач, но в классических нерелятивистских моделях.
Состояние квантово-механической системы описывается волновой функцией Ф( д), определенной в конфигурационном пространстве, и удовлетворяющей уравнению Шредингера
Я Ф = ЯФ,
где самосопряженный оператор Я — это гамильтониан системы, а Я — ее энергия Уравнение Шредингера служит выражением закона сохранения энергии.
Связным состояниям системы соответствуют интегрируемые с квадратом решения этого уравнения. Тогда |Ф|2 представляет собой плотность распределения частиц в конфигурационном пространстве (после соответствующей нормировки)
Переход к импульсному представлению Ф(?) —> Ф*(д*) осуществляет преобразование Фурье. Важную роль во всей квантовой механике играет принцип неопределенности Гейзенберга, который в безразмерных величинах имеет вид
Дд • Дд* > с,
где д — одна из обобщенных координат, с — некоторая константа, зависящая, например, от размерности пространства,
(Дд)2Н()2}-
Аналогичное выражение справедливо для Дд*. При этом
(?) = J чЩ2Л~д

С другой стороны для изучения меры неопределенности плотности вероятности используется так называемая информационная энтропия Больцмана-Шеннона
= -1 пЩ2 ■ Ч>2 (1~д
В работе [6] было доказано неравенство
5ф + 5ф. > (1п 7Г + 1) • Б,
где Б — размерность конфигурационного пространства.
Это неравенство также описывает неопределенность квантово-механической системы и возможно является более точной мерой неопределенности.
Исследование энтропии и энтропийного соотношения неопределенности различных систем привлекает все большее внимание.
Существует множество работ, написанных на эту тему (см., например,
[9], [11], [7], [8]), однако все они ограничиваются нерелятивистским случаем. Один из способов исследования релятивистского случая предложили В В Козлов и Е. М Никишин [4] для пространства Минковского с тремя пространственными и одной временной координатами, т. е. для 0 = 3, где О в дальнейшем — число пространственных координат.
В 1986 г в работе [4] В. В. Козлов и Е.М. Никишин предложили следующую модель взаимодействия релятивистских частиц, отличающуюся от общепринятых подходов Клейна-Гордона и Дирака. В частности, в рамках этой модели была получена формула Бора для энергетических уровней атома
Конфигурационное пространство системы — это четырехмерное пространство Минковского С) = Е4 с декартовыми координатами {я = (сЬ,х, у, г)} и с иденфинитной метрикой
52 = с2^2 — х1 - у2 — г2. (1)
Здесь с — скорость света; х, у, г — пространственные координаты частицы относительно центра взаимодействия, I — рассогласование собственных времен частицы и центра.
Обозначим
/С = {й <= С) : й2 < 0}
пространственноподобный конус в конфигурационном пространстве. Соответственно,
/С* = {й £ 0 : й > 0, ± с£ > 0}
конусы абсолютного будущего и абсолютного прошлого, а
/С0 = {й е (5 : й2 = 0}

Список литературы
[1] Аптекарев А. И., Буяров В. С., Дегеза X. С Асимптотическое поведение //-норм и энтропии для общих ортогональных многочленов Мат сб 1995. Т 82. С. 373-395.
[2] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции Наука, М., 1965
[3] Г. Бейтмен, А. Эрдейи Таблицы интегральных преобразований. Наука, М., 1970.
[4] Козлов В. В, Никишин Е. М. Релятивистский вариант гамильтонова формализма и волновые функции водородоподобного атома. Вестник Московского Университета. Серия 1. Математика Механика. Х°5. М., 1986 С 11-20.
[5] Флюгге 3. Задачи по квантовой механике. Мир, М., 1974
[6] Bialynicki-Birula I., Mycielski J. Uncertainty relations for information entropy in wave mechanics. Cummun. J. Math. Phys 1975. V. 44. P. 129-132.
[7] Dehesa J. S., Martmez-Finkelshtein A., Sorokin V N. Quantum-information entropies for highly-excited states of single-particle systems with power-type potentials. Phys Rev. 2002. A 66. P. 1-7.
[8] Dehesa J S , Martmez-Finkelshtein A , Sorokin V N. Asymptotics of information entropies of some Toda-hke potentials. J. Math. Phys. 2003. V. 44 N 1 P 36
[9] J S Dehesa, R J Yanez, A. I Aptekarev and V. Buyarov. Strong asymptotics of Laguerre polynomials and information entropies of two-dimensional harmonic oscillator and one-dimensional Coulomb potentials. J. Math Phys Volume 39, Number 6. June 1998. P. 3050-3060.
[10] G N Watson. Theory of Bessel Functions. Cambridge. At the University Press 1922
[11] Yanez R J , Van Assche W., Dehesa J S. Position and momentum information entropies of the //-dimensional harmonic oscillator and hydrogen atom. Phys Rev 1994 A 50 P 3065-3079.