О свойствах предельных множеств пространственных отображений

• Автор: Дорофеев, Максим Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 78 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Характеристика множества особых граничных точек произвольной

функции

§1. Основные понятия и определения

§2. Особые граничные точки комплекснозначных функций

§3. Некоторые свойства совершенных а-пористых множеств в К3

§4. Особые точки пространственных отображений для различных функций

подхода

Глава 2. Характеристика множества точек Гарнетт

Список литературы

Введение
В настоящее время теория граничных свойств функций весьма обширна и разветвлена. Различные ее разделы связаны с теорией потенциала, теорией тригонометрических рядов, теорией интегрирования, теорией распределения значений аналитических и мероморфных функций, теорией однолистных и конфорных отображений, теоретико-множественной топологией, функциональным анализом и теорией меры.
Основы теории граничных свойств аналитических функций были заложены работами П. Пенлеве ([48,49]) и П. Фату [42] в конце 19-го в начале 20-го века.
Общими и внутренними свойствами функций, определенных в некоторой области являются хорошо определенные граничные свойства. Плодотворным методом исследования многих граничных задач является теория предельных множеств. Основателем теории предельных множеств является П. Пенлеве, который в 1895 г. [48] первым дал название — область неопределенности и определение новому математическому понятию множества предельных точек функции в граничной точке ее области определения. Это множество теперь называется предельным множеством функции в рассматриваемой точке. Пенлеве ввел в рассмотрение предельные множества для наглядной характеристики поведения аналитической функции вблизи ее особой точки в терминах свойств множества всех ее предельных значений в этой точке, а также для классификации особенностей функции в терминах этих предельных множеств.
Существенное развитие эта теория получила в первую треть 20-го века, прежде всего благодаря работам Данжуа [40], Каратеодори [39], Лузина и Привалова [19], Ф. и М. Риссов [54], Голубева [7], Неванлинны [22], Гросса [44], Плеснера [50].
После некоторого затишья, длившегося примерно до 1950 г., теория

Введение

граничных свойств стала вновь развиваться, используя новые идеи и методы и распространилась на новые объекты. С этого времени появились сотни работ, посвященных разным аспектам теории.
Из крупных работ русских авторов, посвященных теории граничных свойств аналитических функций необходимо прежде всего упомянуть монографии И.М. Привалова "Интеграл Cauchy"n "Граничные свойства аналитических функций"([26],[27]).
Классические основы теории граничных свойств излагаются в книге Г.М. Голузина "Геометрическая теория функций комплексного переменного"(главы 9, 10 [8]).
Монографии К. Носиро "Предельные множества" [25] и Э. Коллингвуда и Л.Ловатера "Теория предельных множеств"[15] посвящены результатам, полученным после 1950 г. и в значительной мере дополняют друг друга.
Этой же тематике посвящена монография В.В. Голубева "Однозначные аналитические функции с совершенным множеством особых точек"[7], изданная в 1961 г. вместе с двумя другими его работами. В этой работе В.В. Голубев получил результаты, часть которых позже передоказывалась рядом автором — иногда даже в более слабой-форме. Им, в частности, было показано, что для любого континуума К комплексной плоскости и любой точки С окружности Г существует функция /(г), аналитическая и однолистная в круге D С С, множество всех предельных значений которой в точке С совпадает с К: ) = К. В работах H.H. Лузина [19]
и И.И. Привалова ([27],[28]) (1918 г. и позже), посвященных граничным теоремам единственности для аналитических функций, были развиты методы, ставшие общепринятыми в теории граничных предельных множеств. С помощью этих методов в 1927 г. А.И. Плеснер [50] установил следующее замечательное утверждение: для мероморфной в D функции f(z) почти в каждой точке £ (Е Г или существует предел по любому углу 1ф, образованному хордами круга D с концами в £, или предельное множество функции f(z) в точке С по любому такому углу является расширенной комплексной плоскостью. Отсюда следует, что для мероморфной функции /: D —» С множество Eyv{f) всех УУ-особых точек, т.е. таких точек, для которых
Глава 1. Характеристика множества особых граничных точек произвольной функции
где £у(С) ~ круги, определенные в лемме 1.3.2. По построению множество Е замкнуто, Е' = М, М С р(Е).
Лемма 1.3.9. Если точка ги Е р(Е) М, то тогда т Е Е(/), т.е.
Доказательство. Пусть w Є p(F) М. По определению множества Е для любых а, b Є Q, и для любой £ Є М, в Vl((,a,b) функция / не принимает значений из Wr, значит и в Vl(w,a,b) она также не принимает значений из WT, для любых a,b Е Q. Для того чтобы доказать принадлежность точки w объединению множеств E(a,b,c,r,l), необходимо найти последовательность точек Wj Е R+, Vj Є N; Wj -* w, j —> oo. Причем f(wj) E YT, a
также Wj E U(w,c') для некоторого с1 E Q и любого j E N. Будем строить эту последовательность. Так как w Є р(Е), то по определению множества р(Е) существует такое действительное число д = g(w) > 0, и существует последовательность кругов Qj = K(aj,Tj) С ЗК+ F таких, что cnj —> w, j —> оо. причем ,. , /—- > д, при любом j Е N, (по определению точки пористости).
Так как w Е D1 и р(D) = 0, то для любой последовательности кругов K(vj,rj) С сЖ+, такой что Vj —) w при j —> оо, а также х- ,7—г є = const > 0 при любом j Е N, существует номер jo такой ЧТО при всех j jo
соотношения ¥ = И Б и. свойств кругов следует что существует такой
номер j, что для всех j j выполняется:
Это означает, что для всех j тах(у'о, Д) найдется точка ф € М и такой номер гу), что для круга (ф) выполняется соотношение: зДСДПд ф 0. (Напомним, что круги Sj введены в лемме 1.3.2).
a,b,c,r,l
Т Т'
Обозначим через qj круг радиуса -у, то есть Qj = "г")- Тогда из
(1.3.19)