О равномерной приближаемости функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка на компактах в R2

• Автор: Зайцев, Александр Борисович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 50 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Равномерная аппроксимация ^-полиномами на компактах без внутренних точек

§1.1. Формулировка задачи и основных результатов

§1.2. Доказательство основных результатов

Глава 2. О равномерной приближаемости функций полиномиальными решениями эллиптических уравнений второго порядка на компактах в М2 (случай произвольного компакта)

§2.1 Формулировка задачи и основных результатов

§2.2. Доказательство теоремы 2.

§2.3. Доказательство предложений 2.1 и 2.

§2.4 Доказательство теоремы 2.

Список цитированной литературы

Введение
Пусть

дхдхч ^ °22дх
Ь — СИ^2 + ^с
(0.1)
— эллиптический оператор с постоянными комплексными коэффициентами Сц, Суі и С22- Эллиптичность оператора (0.1) означает, что корни Аі и А2 (характеристического) уравнения
невещественны. Если, кроме того, мнимые части (характеристических) корней уравнения (0.2) имеют разные знаки, то оператор (0.1) называется сильно эллиптическим.
В диссертации изучаются необходимые и достаточные условия равномерной приближаемое функций Ь-полиномами, т.е. полиномиальными (по х и лг) решениями уравнения
на компактах в К2.
В наиболее общем виде интересующая нас задача формулируется так:
При каких условиях на функцию / и компакт X функция / может быть с любой точностью равномерно на X приближена Ь-полиномами
Так как в классе непрерывных функций понятия классического и обобщенного решений уравнения (0.3) совпадают ([1, теорема 18.1]), то равномерный предел последовательности решений уравнения (0.3) в некоторой области снова является решением (в той же области). Отсюда следует, что условие Т/ = 0 на внутренности Х° компакта X является естественным необходимым условием возможности приближения функции / в сформулированной выше задаче.
1 Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований (проект 00-01-00618) и программы "Ведущие научные школы Российской Федерации” (проект Н1Л-2040.2003.1).
сцА2 + 2сігА + С
(0.2)

(0.3)
Для болсс конкретного изложения введем необходимые нам в дальнейшем функциональные пространства.
Пусть X — компакт в К2, С(Х) — пространство всех комплекснозначных непрерывных на X функций с нормой ||/||х = тах|/(х)|.

Положим А^Х) = {/ 6 С(Х) : Ь/ = 0 на Х°}. Через А(Х) обозначим пространство функций, непрерывных на X и голоморфных на Х°. Через Ть и Р обозначим соответственно классы Ь-полиномов и полиномов комплексной переменной, через Рь{Х) и Р(Х) — замыкание в С(Х) пространств {рх : р & Рь} и {рх ■ р & Р}, а через Л(Х) — замыкание в С(Х) сужения на X множества рациональных функций с полюсами вне А'. При п > 2 пусть Рп{Х) означает замыкание в С{Х) сужения на X пространства полиномиальных решений
уравнения д" и = 0 (здесь и далее д = (+ г-^—] — оператор
2 ОХ 1 0X2 )
Коши-Римана), а Ап(Х) = {/ & С(X) : ЗГ/ = 0 на А°}. Если У — компактное подмножество в X, то через Я/,(У,А) (соответственно через Д(У, X) или Я„(У,А) при п > 2) обозначим замыкание в С (У) пространства функций, определенных и удовлетворяющих уравнению (0.3) (соответственно голоморфных или удовлетворяющих уравнению д и = 0) в некоторой (своей для каждой функции) окрестности компакта X.
Мы ограничимся рассмотрением следующей задачи:
Каковы необходимые и достаточные условия на компактное множество X, при которых совпадают пространства Рь(X) и Аь(Х)?
Компакт А, удовлетворяющий последнему свойству, иногда называют компактом аппроксимации (точнее, в нашем случае, компактом равномерной /^-полиномиальной аппроксимации, или Ь-компактом).
Для случая гармонических функций (Ь = А — лапласиан) решение данной задачи дает следующая теорема Уолша-Лебега [2, стр. 503], [3, гл. II, теорема 3.3], которую мы приведем в том виде, как она сформулирована в [4, стр. 107]:
Теорема 0.1. Пространства Рд(А) и .Ад(АГ) совпадают в том и только в том случае, когда X — компакт Каратеодори.

где cq — некоторая ненулевая комплексная константа, зависящая толь-

ко от L, а In некоторая ветвь многозначной функции Ln —, од-
Zß Zß
нозначно определяемая при z ф 0. Таким образом, функция Ф(^) равномерно ограничена на R2 {0} и непрерывна всюду вне точки 0. Так
как каждая точка множества 8G является точкой пика для алгебры R(XG) ([3, гл. VI(4.4)]), то мера д., не имеет атомов на 8G ([3, гл. II, теорема 12.7]). Поэтому потенциал f Ф(С~z)d[is(Q непрерывен во всех точках 8G. Следовательно, q = 0.
Пусть теперь ß < —1. Тогда Ф(г) = c0n(zzß), где ln(zzß) — некоторая ветвь многозначной функции Ln (zzß), однозначно определяемая при г ф 0 (см. [8, предложение 2.2(1)]).
Пусть Uv(z) означает стандартный логарифмический потенциал меры v (см. [23, гл. 1, § 3]), т.е.
U"(z) = I ln—р^(С).
Пусть Е — замкнутое плоское множество, целиком лежащее в некотором круге диаметра 1. Напомним, что винеровой емкостью Сг(^) множества Е (см. [23, гл. 2, § 4]) называется sup |о|, где верхняя грань

берется по всем положительным мерам а с условиями: Supp(<7) С Е и Ua(z) < 1 для всех z Е R2. Для произвольного борелевского множества Ео, целиком лежащего в некотором круге диаметра 1, положим
^2{Ео) = SUpC2(E), где супремум берется по всем замкнутым в R

подмножествам множества Eq.
Пусть и — некоторая борелевская комплекснозначная мера с компактным носителем, 12 — некоторое открытое подмножество множества R2Supp (г). Тогда при £ Е 912 через Uv(£, 12) обозначим lim Uu(z).
Для завершения доказательства достаточности условий теоремы
2.1 нам потребуется следующая лемма:
Лемма 2.2. Пусть Y = У — компакт со связным дополнением, целиком лежащий в некотором круге диаметра 1, 12 — связная компонента У°. Пусть и — мера ка У 12, такая, что для любой точки