Некоторые экстремальные задачи для целых функций экспоненциального типа

• Автор: Захарова, Марина Владиславовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 79 с.

Оглавление
Основные обозначения
Введение
Глава 1. Задача о минимуме норм h и 1 целых функций
экспоненциального типа
1.1. Постановка задачи
1.2. Связь с экстремальными задачами Конягина, и Турана для
периодических функций с малым носителем
1.3. Основная теорема
1.4. Определение функции <р
1.5. Построение экстремальных функций
1.6. Проверка необходимых условий для функции А
1.7. Проверка необходимых условий для функции W
1.8. Примеры экстремальных функций
1.9. Преобразование Фурье экстремальной функции
в задаче Лі (h)
Глава 2. Вариант теоремы Крейна для пространства 1 {А)
2.1. Постановка задачи
2:2. Теорема Крейна в L(И)
2.3. Вариант теоремы Крейна в метрике 1
2.4. Аналог критерия Надя для дискретного случая
Список литературы

Основные обозначения
N — множество натуральных чисел; Z — множество целых чисел; Z+ = N U {0}; R — множество действительных чисел; С — множество комплексных чисел; Т = R/Z = (—1/2, —1/2] — тор; Cr(D) — множество г раз непрерывно дифференцируемых на D функций;
2i—m = Т Т фп) ГТг=т ~ ' При П < 771, КНК
правило, считается, ЧТО J2i=m а* — ПГ=т аг
\f\ls{z) = ÇLzez f(z)s)1/s, zcz, s>u
II/IIl.(k) = (/R I/0*0Is d*Ÿ/s, s > i;
Z' = Z{0};
E(h) — множество целых действительных функций f(z) экспоненциального типа 2тrh, £{h) — подмножество четных функций из E(h)
Лs(h) = inf{||/||i3(2/) : / G E{h), /(0) = 1}, 0 < h < 1/2;
A(h) и В (h) — задачи Турана и Конягина соответственно;
s' = s/(s — 1); h' = 1/2 — /г;
f*(z) — экстремальная функция в задаче Ai (h), g*(z) — экстремальная функция в задаче А00(Л,/);
W*(z) = c(z/2)w-(z),zeC.w’e £(V); <,(*)
sign ж = 1 при а; > 0, signa; = -1 при х < 0, signa; = 0 при х = 0;
5ij — символ Кронекера (<% = 1 при г= j и = 0 иначе);
с (а;) = cos(27ra;), s(x) = sin(27ra;), е(аг) = e2nix, sc(x) = sin2x (sc(0) - 1);
h = p/q, p и q — взаимно простые целые числа, ç 3, 1 р < д/2;
П = гг(К) = (2г + 1)/(4 К), гей, — нули функции с (/гг);
9г, г € й+, — ближайшая к Г;(р/у) целая точка (если г* полуцелое, то используется округление в меньшую сторону);
) = П,”_„(1-)=П£о(1-§);
а,ь(2) = П;=0 (* ~ (а-Нд)а) (1 ” (ь+п,)2) ’
Г (ж) — гамма-функция;
В(х, у) = УУ'У — бета-функция;
ВчМ = „(#*#-,) е «(1/2), Л > 0;
г = 1,2
/*« = тПГ=1Йт$еОД;
/ = {0,1
д: Ъ -> М — четная функция, ЦрЦгцг) < °о;
С: М —» К — четная функция,
-Ел(у)ц(2) - 1п£/еЕ(я) ||д - /Цгцг);
IIС ~ С/гЦтЦК)!
/(у) = /л Дх)е(-ху) Лх — преобразование Фурье функции /(ж);
/(ж) = /м/(у)е{ху)<1х — обратное преобразование Фурье функции / (у);
ах = 0(ЬХ), х —» ж0, означает, что аж < ж е С/(ж0), где С7(ж0) — некоторая окрестность точки жо, Л > 0 — некоторая постоянная, независящая от ж.

1.5.1. Определение функции A(z). Исходя из приведенных выше соображений, функцию А будем выбирать из условий:
signât» = -signez), z eZ+{qi}™0. (1.24)
Тогда функцию a(z) будем искать в виде
q-2p
a(Z) = 5Z akC(kz/(2V))> (L25)

где неизвестные коэффициенты ак, к = 0,1
A(z) = (-l)i+1, zeli, г = 0,1

/0 = {0
Л = {Чг-1 + 1,.- 1}, г = 1
hр = {у2р—1 + 1, ! у}-
Положим еще
Ï = {0,1
и рассмотрим функции
„ ТТ c(z/2q)-c(j/2q)
‘<)_(‘’ LeL
Нетрудно видеть, что функции Ofc G £(1/2 — p/q) и справедливы равенства
c(z/2)ak(z) = ф, k,z <Е J,
где Sij — символ Кронекера (ф7- = 1 при г = j и <5 — 0 иначе). Отсюда и из (1.23), (1.25), (1.26) следует, что с помощью функций ctfc можно получить явные представления для функции a, a следовательно и функции
А. Таким образом
A(z) = ф/2) ]Г(-1)г+1 afc(z).
г=0 kGlz
Из ее четности и периодичности с периодом 2q также получаем, что
A(z) — (—1) 2 6 {уг + 1, , Уг+i — 1}, г € й+. (1-27)