О прямых методах решения интегральных уравнений третьего рода с особенностями в ядре

• Автор: Замалиев, Руслан Рашидович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 114 с. : ил.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
Глава

ОСНОВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ В НИХ

§1.1 Свойства класса основных функций

§1.2 О пространстве обобщенных функций

§1.3 К теории приближения в пространствах основных и обобщенных

функций

§1.4 Аппроксимирующие операторы в пространстве основных функций

Глава

К ТЕОРИИ РАЗРЕШИМОСТИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО РОДА С ОСОБЕННОСТЯМИ В

ЯДРЕ
§2.10 разрешимости исследуемых уравнений
§2.2 Непрерывная обратимость интегрального оператора третьего рода .. 57 §2.3 Постановка задачи приближенного решения уравнений и
вспомогательные результаты
§2.4 О классических прямых методах решения исследуемых уравнений
Глава
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО РОДА С ФИКСИРОВАННЫМИ
ОСОБЕННОСТЯМИ В ЯДРЕ
§3.1 “Полиномиальные” методы
§3.2 “Сплайновые” методы
§3.3 Оптимизация прямых проекционных методов
§3.4 Заключительные замечания и дополнения
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Введение
Диссертационная работа посвящена методам решения линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода с фиксированными особенностями в ядре вида

Ах = х(£) ][(£ — tj)mз + з
где г £ / = [-1,1], ь е (-1,1), т,] е N (у = 1,0; РъРг € Е+,
К я у — известные непрерывные функции, обладающие определенными свойствами “гладкости” точечного характера, х(Ь) — искомая функция, а интеграл понимается в смысле конечной части по Адамару (см., например, [2, с. 144-150]).
Актуальность темы. Теория интегральных уравнений была и остается одной из центральных областей математики и ее приложений. К настоящему времени наиболее полные результаты получены по решению регулярных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра первого и второго родов, сингулярных интегральных уравнений. Подробный обзор установленных результатов и обширную библиографию можно найти в справочных пособиях [12,46], в специальных обзорных работах [27,58,67], а также в монографиях [10,11,13,26,28,30,45,48,49,56,57,59,60,62,66] и др. В то же время ряд важных задач теорий плазмы [85], упругости, переноса нейтронов, рассеяния частиц (см., напр., [47,80] и библиографию к [80]), а также теорий уравнений смешанного типа (см. [7-9]) и сингулярных интегральных уравнений с вырождающимся символом (см. [68]) приводит к интегральным уравнениям Фредгольма третьего рода:
Ах = 1з(Ь)х(Ь) — ( К(Ь, 5)х(5)ск = у(Ь) (4е[о,Ь]), (0.0.2)

где Л — числовой параметр, коэффициент 1/(Ь) — непрерывная функция, имеющая на отрезке [а, 6] конечное множество нулей степенного

J к (г, в) [(« + 1)Р1(1 - «)Р2] 1х(з)б8 = у(г), (0.0.1)
порядка; K(t,s) и y(t) — известные непрерывные функции, обладающие определенными свойствами “гладкости”, a x(t) — искомая функция. Первые результаты по уравнениям третьего рода, по-видимому, принадлежат
Э. Пикару [81], именно он назвал уравнения вида (0.0.2) интегральными уравнениями третьего рода. Им было рассмотрено модельное уравнение вида (0.0.2), где u{t) = t, а < 0 < Ъ, K(t,s) и y(t) — аналитические функции. Методом сведения к сингулярному интегральному уравнению он указал необходимые и достаточные условия существования аналитических решений. Дальнейшие исследования уравнений третьего рода были продолжены в работах Ш. Платрие [82], А.Р. Хволеса [78], В. Шмайдлера [83], В.А. Морозова [61], Х.Г. Бжихатлова [7-9], В.Б. Короткова [50, 51], П.Н. Денисенко [32]. Во всех этих работах решение рассматриваемых уравнений отыскивается в классических пространствах (аналитических, непрерывных, интегрируемых или других функций) и при этом не привлекается аппарат обобщенных функций. Обнаружилось, что очень часто естественными классами решений ряда прикладных задач, приводящихся к уравнениям третьего рода, являются специальные пространства обобщенных функций типа D или типа V. Под D (соответственно V) понимается пространство обобщенных функций, построенных при помощи функционала “дельта-функция Дирака” (соответственно “конечная часть интеграла по Адамару”). Впервые в пространстве обобщенных функций уравнения третьего рода исследовалось Г.Р. Бартом и Р.Л. Варноком [80]. Их исследования были продолжены и развиты в работах B.C. Рогожина и С.Н. Расламбекова [71-74], Г.Р. Барта [79], Н. Сукаванама [84], К.Б. Бараталиева [6], С.Н. Расламбекова [69,70]. Все эти работы посвящены теории Нетера для соответствующих уравнений третьего рода в классах непрерывных, интегрируемых и обобщенных функций. Подробный обзор полученных результатов и библиографию можно найти в монографии
Н.С. Габбасова [19]. В диссертации Абдурахмана [1] исследовано уравнение с особым дифференциальным оператором в главной части. В предположении, что исходные данные являются точечно “гладкими”, построена теория Нетера для соответствующих уравнений в классах гладких и обобщенных

Покажем, что функция
yn(t) = П1 - t)pQn-i{t) + tmY, - 1); + Е (1.3.8)
3=0 J- 1=0 г-
удовлетворяет условию (1.3.7).
Пусть ipn(t) — произвольный элемент из Пт. Из определения nfT видно, что ipn{t) представим в виде
71— 1 Л т
vn(t) = r( 1 - tyJ2tk + r Е&(* - i)J + > (L3-9)
/с=0 3=0 г
где ак (к = 0,п — 1) — некоторые постоянные, j/3j = (Т(рп)( 1) (j = О, Л), гуг = <рп(0) (г = 0, m — 1). Тогда, в силу (1.1.18) и (1.3.9), имеем
(у - <РпШ
(П — 1 Л
Ф(1) - Е aktk + Г Е (93 - Pj) 0 ~ 1)J + Е ~ *) *’>
Ь=0 / j=0 г
(1.3.10)
где jgj = (STy)W(l), г!6г = у(0) (j = 0, А, г = 0,m - 1).
Отсюда, с учетом (1.3.6) и (1.1.17) получаем
£m+„+A+l(y) = inf Ну - ¥>п||к
71—1 Л

= inf ||Ф(0 -Ег||с = En-і(Ф) - En-{STy), (1.3.11)
а А'

те. д3 = Р}, Ьг = 7г (j = 0, Л, г = 0,m- 1), a J2 aktk = Qn-i[t) — полином

наилучшего равномерного приближения для Ф(£). Теорема доказана.
Следствие 1.3.2. Пусть функция (STy)(t) непрерывно дифференцируема г раз на /, причем (STy) Є Ьгрма (а Є (0,1]). Тогда при п — 1 > г справедлива оценка
pST / Рг,аМ
&п+т++1У) "" (n _ ;Qr+a’