Абсолютно представляющие системы в пространствах аналитических функций с заданной граничной гладкостью

• Автор: Петров, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 117 с.

Оглавление
Введение
1 Пространства аналитических функций с заданной граничной гладкостью и их сопряженные
1.1 Предварительные сведения
1.1.1 Преобразования Коши и Лапласа функционалов
1.1.2 Регулярные классы Карлемана
1.1.3 Классические пространства аналитических функций
1.1.4 Некоторые виды областей в С
1.2 Пространства аналитических функций с заданной граничной гладкостью
1.3 Сильно сопряженные к Лф(<5) пространства в случае необязательно выпуклой области
1.4 Сильно сопряженные к Аф(С) пространства в случае выпуклой области
1.5 Сильно сопряженные к пространствам Лф(С), порождаемым одним весом
2 Абсолютно представляющие системы простейших дробей, их свойства
2.1 Основные определения и вспомогательные результаты
2.2 Связь абсолютно представляющих систем простейших дробей и слабо достаточных множеств
2.3 Существование абсолютно представляющих систем простейших дробей
в АФ(С!)

2.4 О свободное™ абсолютно представляющих систем простейших дробей
в ЛФ(0)
2.5 Непродолжаемость абсолютно представляющих систем простейших дробей в подобласть
3 Абсолютно представляющие системы экспонент, их свойства
3.1 Существование абсолютно представляющих систем экспонент в пространстве Лф(Є)
3.2 Свойство продолжения абсолютно представляющих систем экспонент
3.3 Устойчивость абсолютно представляющих систем экспонент относительно предельного перехода по весовой последовательности
4 Абсолютно представляющие системы экспонент минимального типа
4.1 Постановка задачи, основные определения и структура главы
4.2 Пространство непрерывных мультипликаторов
4.3 Необходимые и достаточные условия для абсолютно представляющих систем экспонент минимального типа
4.4 Существование абсолютно представляющих систем экспонент минимального типа в юг
4.5 Пример абсолютно представляющей системы экспонент минимального типа в Лу С) и неустойчивость абсолютно представляющих систем экспонент относительно предельного перехода по области
Список обозначений
Литература

Введение
Актуальность темы. В диссертационной работе изучаются пространства функций, аналитических в ограниченной односвязной области, с заданными оценками всех производных.
В последнее время возрос интерес к изучению абсолютно представляющих си-стем (АПС) в различного рода пространствах. Это обусловлено, во-первых, тем, что решению задач, связанных с разложениями в ряды по фиксированной последовательности функций из различных пространств, в анализе всегда уделялось особое внимание. Во-вторых, развитие теории абсолютно представляющих систем в локально выпуклых пространствах позволило найти новые подходы к изучению некоторых других важных вопросов, связанных, например, с задачей о разрешимости различных функциональных уравнений (в частности, уравнений типа свертки), задачей Коши для уравнений в частных производных, задачей конструктивного построения решений таких уравнений и, наконец, проблемой продолжения по Уитни.
Впервые понятие абсолютно представляющих систем было введено Ю. Ф. Коробейником в [17] под влиянием работ А. Ф. Леонтьева. В исследованиях А. Ф. Леонтьева, подытоженных им в монографии [30], рассматривалась задача о представлении функций, аналитических в произвольной ограниченной выпуклой области комплексной плоскости, рядами экспонент и была установлена возможность такого представления. Эти результаты естественным образом привели к появлению теории абсолютно представляющих систем (АПС), основы которой были заложены в цикле работ Ю. Ф. Коробейника [17]- [22] и которая развивалась, главным образом, в его работах и работах его учеников А. В. Абанина [2]- [6], Ле Хай Хоя [47], С. Н. Мелихова [33], В. Б. Шерстюкова [42], И. С. Шрайфеля [43] и др. Существенный вклад в развитие

Теперь рассмотрим операторы умножения на экспоненты
Мх : / — /(г) еАг,
£*:/—>/(*)(*-А)
и простейшие дроби
ЛГд : / ‘ /(-
2 — А’
где Л - фиксированная точка из С.
Лемма 1.2.4. (1) При любом А € С оператор М — изоморфизм АФ(С) на себя, обратным к которому является М-.
(2) Оператор Ь непрерывно действует из АФ{СГ) в АФ(С) при любом А £ С.
(3) Если последовательность Ф удовлетворяет условию (1.2.2), то при люболь А е сС операторы Ь и Ад являются взаимнообратными изоморфизмам,и Аф((0) на себя.
<1Пусть / € АФ(С!). Обозначим через На опорную функцию области (?. Для фиксированных А € С и веса 1р 6 Ф справедливо
I (/(г)еАг)|
= эир Бир - у- —! = вир эир
*ЄСкЄ7.+ А! е'Рт хєСкЄ2+ к е>
еАгЕС'І/(і)(-) А*“1

< еНс<А> вир V ' |А0-- < еяс(А)|| /11 вир У' еу0) 9{к) 1Д1"’ * <
< ен°{х)т* зир = е««<А)+іАі плі,
кєі.+ “ (А' - г)!
I А|*

Отсюда следует, что оператор М и обратный к нему, которым, очевидно, является М_А, непрерывны на АФ(С!) и утверждение (1) доказано.