О прямых методах решения интегральных уравнений третьего рода в пространстве обобщенных функций

• Автор: Соловьева, Светлана Александровна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 111 с. : ил.

Глава 1 СВОЙСТВА ОСНОВНЫХ ПРОСТРАНСТВ И ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЯ В НИХ

§1 Класс С{рх;р2-,т,г} и его основные свойства

§2 Пространство У{р{,р2т,г} обобщенных функций

§ 3 Элементы теории приближения в пространствах

С{р]-,р2;т,т} и У{р1-,р2;т,т}

§ 4 Аппроксимирующие операторы в пространстве С{рхр2т,т}

Глава 2 К ТЕОРИИ РАЗРЕШИМОСТИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ФРЕДГОЛЬМА ТРЕТЬЕГО РОДА

§ 1 О разрешимости исследуемых уравнений

§ 2 Непрерывная обратимость интегрального оператора третьего рода

§ 3 Постановка задачи приближенного решения уравнений и

вспомогательные результаты

§ 4 О классических прямых методах решения уравнений третьего рода
Глава 3 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТРЕТЬЕГО РОДА В КЛАССЕ ОБОБЩЕННЫХ
ФУНКЦИЙ
§ 1 «Полиномиальные» методы
§ 2 «Сплайновые» методы
§ 3 Оптимизация проекционных методов
Заключение
Литература

Диссертационная работа посвящена методам решения линейных интегральных уравнений Фредгольма третьего рода (УТР) в классе обобщенных функций.
Актуальность темы. Теория интегральных уравнений была и остается одной из центральных областей математики и ее приложений. К настоящему времени наиболее полные результаты получены по решению регулярных интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра 1-го и 2-го родов, сингулярных интегральных уравнений. Определенные итоги установленных результатов и обширную библиографию можно найти в справочных пособиях [12, 37], в специальных обзорных работах [24, 44, 53], а также в монографиях [7, 11, 23, 25, 27, 36, 38, 39, 42, 43, 45, 47, 48, 52, 54, 68] и др. В то же время ряд задач теорий упругости, переноса нейтронов, рассеяния частиц (см.,напр., [72,40], и библиографию к [72]), а также теорий уравнений смешанного типа (см. [8-10]) и сингулярных интегральных уравнений с вырождающимся символом (см. [55]) приводят к УТР. Обнаружилось, что часто естественными классами решений ряда прикладных задач, приводящихся к УТР, являются специальные пространства обобщенных функций типа D или типа V. Под D (соответственно V) понимается класс обобщенных функций, построенных при помощи функционала «дельта-функция Дирака» (соответственно «конечная часть интеграла по Адамару»). Впервые в пространстве обобщенных функций УТР исследовалось Г.Р.Бартом и Р.Л.Варноком [72]. Их исследования были продолжены и развиты в работах B.C. Рогожина и С.Н.Расламбекова [59-61], Г.Р.Барта [71], Н.Сукаванама [73], К.Б.Бараталиева [5], С.Н.Расламбекова [56, 57]. Все эти работы посвящены теории Нетера (см., напр., [27]) для соответствующих УТР в классах непрерывных, интегрируемых и обобщенных функций. Подробный обзор имеющихся результатов и библиографию можно найти в монографии Н.С.Габбасова [18]. Исследуемые уравнения точно решаются лишь в очень редких частных случаях, поэтому разработка теоретически обоснованных эффективных методов их прибли-

женного решения в пространствах обобщенных функций является актуальной задачей. Первые результаты в этом направлении получены в работах
Н.С.Габбасова [14-18], который исследовал УТР с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка. Им были предложены и обоснованы как классические, так и специальные прямые методы решения этих уравнений. При этом по решению УТР в пространстве типа й получены в определенном смысле окончательные результаты, а в классе типа V подробные исследования проведены в частных случаях в зависимости от характера нулей коэффициента уравнения. В статье
В.А.Золотаревского [34] некоторые результаты Н.С.Габбасова (1990г.) в частном случае пространства типа £> перенесены на УТР в комплексной плоскости.
Таким образом, в обсуждаемой области все еще остается много нерешенных задач. В частности, вопрос о построении и обосновании методов приближенного решения общих УТР в пространстве типа V, по существу, до сих пор оставался открытым. Данная диссертационная работа в определенной степени восполняет этот пробел.
Цель работы - построение теории разрешимости УТР с коэффициентом, имеющим на отрезке интегрирования конечное множество нулей любого степенного порядка, в пространстве типа V и теоретическое обоснование методов их приближенного решения в данном пространстве.
В диссертации под теоретическим обоснованием понимается следующий круг задач: а) доказательство существования и единственности решения аппроксимирующих уравнений; б) доказательство сходимости приближенных решений к точному и определение скорости сходимости; в) установление эффективных оценок погрешности приближенного решения, учитывающих структурные свойства исходных данных; г) исследование устойчивости и обусловленности аппроксимирующих уравнений.
Методика исследований. При выводе и обосновании полученных в диссертации результатов используются теория операторов Нетера, теория

1.4. Наряду с оператором А, определяемым равенством (2.1.10) рассмотрим оператор А!, задаваемый следующей формулой

(АУХО = «(0^(0 +0^(5)<& еХ).

Считаем, что ядро удовлетворяет требованиям (2.1.6). По доказанному выше А': X -» 7 - оператор Фредгольма. Кроме того, для операторов А и А' верна
Лемма 2.1.1. Операторы А:Х —>У и А':Х—> ¥ удовлетворяют соотношению

| у/(А)(Ах)(1) Л = | х(()(А'у/)(1) Л (/х, V у/е X), (2.1.12)
о о
т.е. они являются союзными.
Для доказательства достаточно представить у/Ц) и х(?) по формуле (1.2.2) и сравнить левую и правую части равенства (2.1.12) с учетом леммы 1.4.1 [18].
Теорема 2.1.4. Для разрешимости уравнения Ах = у (хеХ, у е У) необходимо и достаточно выполнения условий
у(0 ^(0 = 0 (к = 1,а(А’)),

где {у/к } - базис пространства решений однородного союзного уравнения А'у/ = 0 (у/ е X).
Доказательство следует из лемм 1.2.1 и 2.1.1.