Вторичные редукции в бифуркационном анализе вариационных задач с симметрией

• Автор: Белых, Федор Александрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 100 с. : ил.

1 Фредгольмовы вариационные уравнения с симметрией
1.1 Элементы анализа фредгольмовых функционалов
1.1.1 Фредгольмовы операторы
1.1.2 Фредгольмовы функционалы
1.1.3 Локальный анализ фредгольмовых функционалов
1.2 Бифуркационые диаграммы особых критических точек функционалов
1.3 Функционалы, инвариатные относительно гладкого действия группы Ли
1.4 Приближенное вычисление ключевой функции
1.5 Анализ редуцированной главной части ключевой функции
1.5.1 Особенность многомерной сборки
1.5.2 Вторичная редукция
1.5.3 Дискриминантный анализ бифуркации экстремалей из точки минимума типа 2—мерной сборки
в случае четной деформации
1.5.4 Каустика в случае деформации 2—мерной сборки,
четной по одной из переменных
1.6 Структура ключевой функции в случае й^-симметрии
и 4-мерного вырождения порождающей особой точки
2 Бифуркации сегнетоэлектрических фаз из точки 4-мерного вырождения в геликоидальной модели кристалла
2.1 Метод ключевой функции при определении фазовых состояний кристалла
2.2 Группа симметрий основного уравнения и нормальная форма главной части ключевой функции
2.3 Структура орбит действия С в пространстве ключевых координат
2.4 Вторичные редукции (в пространстве ключевых координат)
3 Кирхгофов стержень и петлеобразные решения уравнения Эйлера - Пуассона на группе Ли 5Ь(2)
3.1 Матричные подалгебры Ли в М(2, С)
3.1.1 Матричные подалгебры Ли малой размерости
3.1.2 Пятимерные подалгебры
3.1.3 Шестимерные подалгебры
3.1.4 Семимерные подалгебры
3.1.5 Заключение классификации
3.2 Экстремали функционала энергии симметричного кирх-гофова стержня
3.3 Редукция функционала Кирхгофа
3.4 Экстремали функционала Эйлера - Пуассона на группе вЬ( 2)
3.5 Редукция функционала Эйлера - Пуассона
Литература

При изучении равновесных состояний упругих систем, фазовых переходов в кристаллах, нелинейных волн в реагирующих средах и ряда других проблем современного естествознания естественным образом возникает вариационная задача
У(х) —► пф (1)
в которой У(х) — гладкое семейство гладких функционалов (на банаховом пространстве Е или гладком банаховом многообразии М), симметричное (инвариантное) относительно линейного действия Тд группы Ли С на Е:
ПА(ЗД = ВД V®, А, (2)
А — параметр со значениями в некотором банаховом пространстве Ь (конечномерном или бесконечномерном).
В диссертации рассмотрена вариационная задача (1) с дискретной и круговой симметриями (2) при следующих основных условиях:
1. функционал V(х) фредгольмов индекса пуль;
2. действие группы О задано гомоморфизмом д н-► Тд — из С в группу 0(11) (линейных ортогональных преобразований II), где Н — некоторое гильбертово пространство, в которое непрерывно и плотно вложено Е;
3. в случае непрерывной симметрии (С — группа Ли положительной размерности) представление Тд является гладким гомоморфизмом (т.е. отображение д Тд из Я О (2) в 30(11) является гладким) с дополнительным условием: Тд(М) С М (многообразие М инвариантно относительно Тд).
Фредгольмовость функционала V на Е означает, что
^(;с)/! = (/(ж),/г), (3)

4л2 + $1, 7 = 5тг4 -Ь $2 и подходящем подборе ключевых параметров (в редуцирующей схеме Ляпунова - Шмидта) ключевая функция допускает представление в виде
;((б + б)2+(б + б)2) +
+ 2 б'бб + “збб + аз(бб + бб) + 'Ыбб + бб)) + °5 +|(б + б) + |(б + б) + °Ш5) + 0(!сГ)0Ц)+о(Д
Описана методика вычисления критических точек ключевой функции, основанная на введении двух систем полярных координат — в плоскости первой и второй ключевых координат (по первой и второй модам бифуркации), и, соответственно, в плоскости третьей и четвертой ключевых координат, с дальнейшей (вторичной) редукцией к функции от двух радиальных переменных.
2.1 Метод ключевой функции при определении фазовых состояний кристалла.
Фазовые переходы в кристаллах изучаются, как известно (см., например, [30]), на основе математических моделей, в которых ведущую роль играет алгебраическая форма термодинамического потенциала. Как правило, термодинамический потенциал подбирается не только из общих теоретических или физических соображений, но и с учетом конкретных обстоятельств, сопутствующих изучаемому явлению. Так, в случае двухкомпонентного параметра порядка при описании геликоидальных сегнетоэлектричсских структур [30] иногда используется потенциал