Некоторые свойства операторов проектирования в банаховых пространствах

• Автор: Мартынов, Олег Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 61 с.

ВВЕДЕНИЕ
В начале прошлого века были заложены основы теории наилучшего приближения в нормированных пространствах. Создание этой теории неразрывно связано с именем С. Банаха [1]. Позднее идеи С. Банаха были развиты в работах С. Мазура, М.Г. Крейна, С.М. Никольского, Н.И. Ахиезера, Дж. Уолша, А.Н. Колмогорова, А.И. Маркушевича, А.Л. Гаркави, Е. Чини и других. (Подробнее литературу см. в (5, б, 56, 57]).
Операторы проектирования (ограниченные идемпотентные операторы) дают приближение того же порядка, что и наилучшее, поэтому изучение их свойств представляется вполне естественным.
Пусть У - замкнутое подпространство банахова пространства X. Линейный ограниченный оператор к :Х г называется оператором проектирования (проекцией) X на 7, если п у = у для любого >- е 7. Множество всех операторов проектирования пространства X на подпространство 7 будем обозначать л (X, 7). Относительной проекционной константой подпространства 7 в пространстве X называется число 1(7, X) = т7 ||Ы! ;л £л(Х, 7)|.
Среди операторов проектирования особый интерес представляют те, нормы которых совпадают с относительной проекционной константой. Если такие проекции существуют, то они называются минимальными проекциями.
Хотя сам термин «минимальные проекции» появился позднее, фактически изучение минимальных проекций началось уже в 30-х годах, главным образом, в связи с изучением геометрии банаховых пространств. При этом особенно подробно изучались проекции с единичной нормой, являющиеся естественным обобщением ортогональных проекций в гильбертовых пространствах. При их изучении ставятся две проблемы:

(ЕР) - вопрос о существовании проекции с единичной нормой;

(УР) - вопрос о единственности такой проекции.

Среди математиков изучавших проекции с единичной нормой такие, как

A.Е. Taylor, H.F. Bohnenblust, JI.В. Канторович, R.C. James, Т.П. Акилов, М.З. Соломяк, J. Lindenstrauss, М.И. Кадец, С. Bessaga, A. Peiczynski, J. Ando, В.И. Гурарий, J. Blatter, E.W. Cheney. (Подробнее см. в [30, 22, 37, 38, 64]). Позднее этой проблемой занимались В.П. Одинец, G. Lewicki,
B.В. Локоть, М.Я. Якубсон (см. [60,24-28, 51, 12, 34]),
С другой стороны, уже в 40-х годах появились работы о некоторых минимальных проекциях с неединичной нормой. В работе А. Собчика [67], опирающейся на результаты А.Е. Тейлора [68] и Г.Ф. Боненбласта [39], доказано, что минимальные проекции из (с) на подпространство (с0) имеют норму равную двум и их бесконечно много.
Понятие минимальной проекции, то есть имеющей наименьшую из норм всех проекций на данное подпространство, фактически принадлежит Г.Ф. Боненбласту [39]. Очевидно, что проекция с единичной нормой всегда минимальна. Таким образом, проблема (ЕР) распадается на три вопроса: о существовании непрерывной проекции, минимальной проекции и проекции с единичной нормой.
В конечномерных пространствах минимальная проекция существует всегда, однако в бесконечномерном случае это не так (см., например, [38]). Абсолютной проекционной константой порядков к, п называется число
Л и) = supjl (у*, Хя| 7к с Х„ где dim У, = к, dimX, = п, к <п (см. [31]).
В 1938 году Г.Ф. Боненбласт [39] доказал, что Л (п -1, и) = , Для
подпространств коразмерности к >2 точные значения Л [к, nj не найдены. Однако, в ряде случаев для Л (/с, п) найдены оценки сверху или снизу. В работе [49] получена следующая оценка сверху

В.В. Локтем [58] были получены оценки снизу для Я (я- 2, и) и
Л (я - 3, я), а именно Я (и -2, «) > ~ , где
О, я = Зі',
, л = Зя +к,

л = Зі +- 2.
[л(и2 + 5л- 2)
Если сравнить этот результат с оценкой сверху (1), то получим, что
где п — 1т, т Сравнивая этот результат с оценкой (1), получим, что
Для получения указанных выше оценок в работе [58] вычислены
подпространств, причем размерность пространств /^ и определяется по формуле я=(2*-1)т, размерность же подпространства равна ( 2* -1 )т - к. Можно показать, что такой выбор размерности п пространств /,<и) и Дп) и коразмерности к подпространств является оптимальным, то есть в этом случае значение Я (уя_А, 1п)) или Я (¥„_к, I) является наилучшей оценкой снизу для я[п-к, п). В [58] для пространства ^ рассмотрены случаи к = 2 и к = 3, для пространства рассмотрен случай к = 2.
В работах [38, 43, 7, 51] определены относительные проекционные константы гиперплоскостей в пространствах 1л, , /ш, , в [8, 9, 52]

разность между двумя оценками не превышает у/З - - я 0,232 .
относительные
проекционные
константы
для некоторых классов
ГЛАВА
КОНСТАНТЫ СИЛЬНОЙ ЕДИНСТВЕННОСТИ
§ 1. КОНСТАНТЫ СИЛЬНОЙ ЕДИНСТВЕННОСТИ ОПЕРАТОРОВ ПРОЕКТИРОВАНИЯ НА НЕКОТОРЫЙ КЛАСС ПОДПРОСТРАНСТВ КОРАЗМЕРНОСТИ ДВА В ПРОСТРАНСТВЕ /*>
Пусть т„_2 - подпространство пространства размерности п- 2. Функционалы / и g зададим следующим образом:
/ = (/.,/*, - ,/,-иР). *=(<>. 1). (!)

причем о £**.-♦[ -гиперплоскости пространства Дп), а У„..2 = /ДО)
Ниже сформулированная лемма может быть получена из более общего утверждения, приведенного в работе [51] (см. теорему 2.4.6). Однако, мы приведем другое доказательство леммы, отличное от того, которое есть в работе [51].
Лемма 2.1.1: Пусть - оператор проектирования с минимальной нормой пространства Дл) на подпространство Т„_г , определяемое функционалами
(2). Тогда: 1) ||я®||= 1+^2^^-} , еслиДс^-, / = 1, ... ,«-1; ■
2)ИЯ=1»если /-1 ■
Доказательство:
Любой оператор проектирования я :1^} -> Уп_2 имеет вид яарх = * - а Дх)- р£(х), где а еД" Д еДи), / и я - линейные функционалы, определенные на Дл>, причем
/О ) = ^(/?) = 1, /(/?) = *(*) = <>■ (2)
В нашем случае условия (2) имеют вид:
2А/, = о. = Д =1-1=1 1=
Норма оператора я- вычисляется по формуле
Г'(0):

/X*)= 2 //А -