Геометрические методы в экстремальных задачах

• Автор: Скалыга, Валентин Иванович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 225 с.

Содержание
Введение
Глава I Гомотопический метод в бесконечномерных
экстремальных задачах
§ 1. Деформации гладких оптимизационных задач
о ограничениями типа неравенств
§ 2. Деформации гладких оптимизационных задач
с ограничениями типа равенств
§ 3. Деформации липшицевых функционалов
§ 4. Деформации липшицевых задач математического
программирования
§ 5. Гомотопическая инвариантность слабого минимума
§ 6. Задача оптимального управления движением
§ 7. Деформации многокритериальных задач
§ 8. Многокритериальные задачи с ограничениями
§ 9. Достаточные условия для существования глобального
минимума в многокритериальных задачах
Глава П. Границы производных полиномов на выпуклых телах
§ 1. Оценки первых производных полиномов
на выпуклых телах
§ 2. Обобщение неравенств В.С.Баденского
§ 3. Подготовительные леммы
§ 4. Оценки старших производных полиномов на выпуклых телах
§ 5. Оценки производных полиномов на кубе в к”
§ 6. Оценки производных полиномов на теле, ограниченном
ЭЛЛИПСОИДОМ ВЕ"
§ 7. Оценки производных от однородных форм
Заключение
Литература
Введение
Введение состоит из двух частей, соответствующих двум главам диссертации.
Широкое распространение методов оптимизации в различных областях естествознания и внутреннее развитие этой теории привело к появлению огромного количества работ по этой тематике. Например, развитию и обобщению классического результата П.Ферма посвящены работы [1,3,13,14,15,16,17,18,24,31,32,34, 35,38,39,42,43,45,47,48,53,55,57,62,63,69,733. Необходимые и достаточные условия второго порядка в экстремальных задачах имеются в монографиях и работах [13,14,15,17,24,30,34,36,45, 47,48,62,703.Развитие теоремы Л.А.Люстерншса [373 и ее приложения в теории экстремальных задач содержатся в [15,23,24,653. Обобщению классической теории экстремальных задач на негладкие задачи (выпуклые и липшицевы) посвящены монографии и работы [9,19,20,22,24,29,41,58,76,773. Различные обобщения классических работ Вейерштрасса содержатся в [14,15,163. Основополагающие результаты, связанные с понятием монотонности и потенциальности, изложены в работах [15,27,28,51,52,683. Различным обобщениям и приложениям теоремы Экланда [603 (вариационные принципы Борвейна-Прайса, Де Билля, Иоффе и Тихомирова и др.) посвящены работы [25,44,49,50,59,66,67,71,72,74,75].
Некоторые разделы теории оптимизации (например, линейное, квадратичное и выпуклое программирование, теория необходимых условий оптимальности) приобрели устойчивый вид. Другие разделы .например, теория достаточных условий оптимальности, находятся в состоянии развития. Имеющиеся здесь методы обычно исследуют специальные классы оптимизационных задач и носят частный характер.

В работах H.A.Бобылева разработан деформационный принцип минимума для анализа широких классов оптимизационных задач.
Он состоит в том, что если в процессе специальной, невырожденной деформации оптимизационной задачи ее экстремаль остается равномерно изолированной, то она сохраняет свойство быть точкой минимума. Этот деформационный метод не связан с повышенной гладкостью функционалов и эффективен в вырожденных ситуациях. Важную роль в понятии невырожденной деформации экстремальной задачи играет свойство (S) нелинейных операторов, вве-деное Браудером [54,56] и независимо от него М.В.Скрыпником [42] в связи с проблемами разрешимости краевых задач для нелинейных эллиптических уравнений и в связи с вопросами сходимости метода Галеркина. Близкие к обладающим (Б)-свойством классы операторов (усиленно замкнутые операторы) рассматривались С.И.Похожаевым [40] и Брезисом [51].
Деформационный принцип минимума для гладких функционалов на гильбертовых пространствах приведен в работах [5],[6].
Его конечномерный эквивалентный вариант содержится в работе [4]. Инвариантность минимума при невырожденных деформациях гладких функций конечного числа переменных доказана в работе [611. Обобщение деформационного принципа минимума на случай функционалов, определенных на рефлексивных сепарабельных банаховых пространствах, содержится в работе 121. В [6] изложены приложения деформационного принципа минимума к задачам вариационного исчисления. Теорема об инвариантности слабого минимума при невырожденных деформациях вариационных задач доказана в работе [46]. Обобщение деформационного принципа минимума на липшицевы функции конечного числа переменных и его приложение к исследованию задач нелинейного программирования изложены в

отношением F: y где (ev} - ортонормированный базис в Ек.
Пусть L(h ,- линейная оболочка системы векторов <П>к, Kh =KciL(ht
1' ' ' к 1 г' ’ ‘ к
ных в множества Kh h и P(Kh h ) в соответствующих метри-
1" ’ " к 1 ’ ' ’ к
ках. Так как множество F(Kh ь ) содержит октаэдр
Ч ’ к
{T:|t |<1}, то для ггсправедливо неравенство к~1уг< rF<1-
Теорема 4.1 .Пусть х <= Кс X, Рп<= Вп(К), векторы
h4 lp.6 X, ||hj|=1 (1=1 ,К; k=T7n). Тогда справедливы
следующие неравенства:
|vkPn(x)[h hKBpCxJJ/trX ...rh )<


|VkPp(x)[hi


Теорема 4.2. Пусть X - гильбертово пространство, х е К с X, ?пеФп(Х,1Р.),||Рп||к<1, векторы НеХ (1=1 ,к) и образуют ортонор-
мированную систему векторов.
Тогда справедливы следующие неравенства:
|7кРГ1 (х) th
I* к