О некоторых классах расширений эрмитовых операторов

• Автор: Роткевич, Эмилия
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Симферополь
• Количество страниц: 103 c. : ил

~ 2 ■

Глава I. Правильные расширения эрмитовых операторов
§ I. Правильные расширения и их свойства
§ 2. Аналог формул фон Неймана,
§ 3. Спектр и его классификация
Глава II. Правильные расширения полуограниченных эрмито
вых операторов с сохранением грани
§ I. Самосопряженные расширения полуограниченных симметрических операторов с сохранением грани
§ 2. Самосопряженные расширения полуограниченных эрмитовых операторов с сохранением грани
§ 3. Правильные расширения полуограниченных эрмитовых
операторов "с сохранением грани"
§ 4. Аккретивные расширения неотрицательных эрмитовых
операторов
Глава III. Расширения с сохранением нормы и аккретивные расширения эрмитовых операторов
§ I. Правильные расширения эрмитовых сжатий с сохранением
нормы
§ 2. Нормальные расширения эрмитовых сжатий с сохранением
нормы
§ 3. Нормальные аккретивные расширения эрмитовых операторов
Литература

Настоящая работа посвящена изучению аккретивных расширений неотрицательных замкнутых эрмитовых (вообще говоря, неплотно заданных) операторов, а также изучению нормальных расширений эрмитовых сжатий с сохранением нормы.
Известное предложение Дж.фон Неймана о самосопряженных расширениях полуограниченных симметрических (плотно заданных) операторов с сохранением грани послужило толчком к большой серии работ в этом направлении. В частности, как известно, предложение Неймана различными методами (представляющими и самостоятельный интерес) было обосновано М.Стоуном [29] , К.Фридрих-сом [31] , Л.Фрейденталем [30] , М.Г.Крейном [8] , У.Килпи [32] и Р.Филлипсом [33] . Таким образом, рассматриваемая проблема была решена полностью и в положительном смысле. А именно, было показано, что для произвольного полуограниченного симметрического оператора Н , который действует в гильбертовом пространстве ^ , в этом же пространстве существует самосопряженное расширение с той же гранью, что и у оператора Н
В дальнейшем указанная задача рассматривалась при некоторых дополнительных ограничениях. Так, например, в работе [4] М.Л.Горбочук и В.А.Михайлец получили описание всех полуограниченных снизу самосопряженных расширений симметрического оператора 1_0 , расширение по Фридрихсу которого имеет дискретный
спектр.
В случае же полуограниченных неплотно заданных эрмитовых операторов, как показали Т.Андо и К.Нишио Г2?] , аналогичная
задача уже не всегда разрешима. А именно, справедлива следующая
ТЕОРЕМА (Т.Андо, К.Нишио). Замкнутый положительный эрмитов
оператор Н допускает самосопряженное расширение тогда и только тогда, когда он положительно замкнут (positively closable ).
При этом оператор Н называется положительно замкнутым,если из того, что
следует, что Ь
Несколько позже, независимо и другими методами вопрос о самосопряженных расширениях полуограниченных эрмитовых операторов с сохранением нормы изучался в ряде работ А.В.Штрауса [23-26]. В частности, как показано в работе [26] , имеет место следую
ТЕОРЕМА (А.В.Штраус). Для того, чтобы эрмитов оператор А (<ЕХА) Ф *§ ) обладал ограниченным снизу самосопряженным рас -ширением с сохранением нижней грани, необходимо и достаточно, чтобы операторнозначная функция Л—* АЛ в промежутке ]-оо )т [ мажорировалась полуограниченным снизу самосопряженным оператором. В этом случае - наименьший элемент в
множестве всех таких расширений.
При этом в предыдущей теореме т - нижняя грань оператора А , а оператор Ал (Л< т) определяется на ^(Ад4)
= ф(А)+ ¥1л ( Ил - дефектное пространство оператора А )
равенством
Ал( f + C|) — Af + Л С] (f ^ xDfA)^ Q е Ил ") • [I)
Одна из последних работ в этом направлении принадлежит Код-дингтону и Сноо [28] .В этой работе результаты М.Г.Крейна о существовании двух "крайних" положительных самосопряженных расширений у положительного плотно заданного симметрического опера-