Константы оценок скорости сходимости в эргодических теоремах фон Неймана и Биркгофа

• Автор: Седалищев, Владимир Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 64 с.

1 Численные оценки скорости сходимости в теореме фон Неймана при наличии информации о спектральной мере
1.1 Предварительные замечания
1.2 Вспомогательные утверждения
1.3 Зависимость между скоростью сходимости в теореме фон Неймана и поведением в нуле меры 1.4 Критерий А.Г. Качуровского степенной скорости сходимости
в теореме фон Неймана в форме алгебраических неравенств
2 Численные оценки скорости сходимости в теореме фон Неймана при наличии информации о корреляциях
2.1 Предварительные замечания
2.2 Оценки при достаточно общих предположениях о поведении
корреляционных коэффициентов
2.3 Оценки при предположениях о степенном и экспоненциальном
характере убывания корреляционных коэффициентов
2.4 Оценки для случая непрерывного времени в теореме фон Неймана

3 Неравенства, связывающие между собой скорости сходимости в эр-годических теоремах фон Неймана и Биркгофа
3.1 Предварительные замечания
3.2 Случай дискретного времени
3.3 Случай непрерывного времени
4 Связь полученных результатов с теорией стационарных в широком смысле стохастических процессов
4.1 Предварительные замечания
4.2 Границы применимости результатов предыдущих глав к теории стационарных в широком смысле процессов
Список литературы

Эргодическая теория на сегодняшний день представляет собой достаточно активно развивающийся в течение вот уже почти 80 лет раздел математики, поэтому не удивительно, что даже среди специалистов существуют различные взгляды на основные цели и задачи эргодической теории. Например, Я.Г. Синай в вводной части монографии [18] приводит две возможные точки зрения. Согласно одной из них, эргодическая теория изучает статистические свойства детерминированных динамических систем, где под статистическими свойствами понимаются свойства, выражающиеся через поведение средних по времени от различных функций, вычисляемых вдоль траекторий динамических систем. «Детерминированность» подразумевает, что в уравнения, задающие закон движения, не входят никакие случайные возмущения, шумы и т. п. Тем самым возникающая статистика определяется исключительно свойствами динамики. Согласно другой — эргодическая теория изучает категорию пространств с мерой и их морфизмов — сохраняющих меру преобразований.
Так или иначе, но отправной точкой для развития эргодической теории послужили некоторые соображения, относящиеся к статистической физике. В своём учебнике [19] П.Р. Халмош даже делает сравнение, что задача изучения хаза сыграла для рождения эргодической теории такую же роль, какую сыграла задача о семи Кёнигсбергских мостах для топологии. Основная суть этих соображений статистиЕсли при а Є (1,2] для всех к справедливо неравенство \Akf — /* \ < В к “, то
Л jsup | Akf - f* > є I < Be 2 '^2 к “ < Be 2 J x adx = Be 2"~^
1-а
< Be
nl—oc
что при подстановке а = 2 приводит нас к доказываемому утверждению.

3.3 Случай непрерывного времени
3.3.1 Положим Ат(ш) = 2 т sup fgoTT{w)dT
2"» со случаем дискретного времени следующие обозначения:
, а также введем по аналогии
СМ= sup Atg(u); qm{e) = A{<^ > є}; <5m(w)
,ш<кгт+1 2+l

В этих обозначениях при условии 2т s ч ОО ОО
Pet = Л < sup |Л,з| > £ i < У'qm+k-l(e) = V ?*(г). (16)
^ s-‘ 1 *=1 к=т
Следующая ниже техническая лемма 6 будет играть при доказательстве теоремы
(время в которой непрерывно) такую же роль, какую играла лемма 3 при доказательстве теоремы 13 (время в которой дискретно).
Лемма 6. Справедливы оценки:
— |Л2т)| + 2 тдт{и>) + Лто(и'); qm(e) < 3(5||^2">p||| + 2 2этг|]<5m]| 1)^ 2•
Доказательство. Первое неравенство леммы становится очевидным, если записать Atg при 2т < t < 2m+1 в следующем виде:
/ М
2m 1 Л*д = — Л2т J g о ТТ(и>) dr + J g о TT{w) dr І
2т И
Возводя в квадрат уже доказанное первое неравенство леммы и применяя к правой части полученного элементарное неравенство (а + Ь + с)2 < 3(а2 + Ъ2 + с2), будем иметь после интегрирования, что
ИМ <3(||Л2тр||2+ 2-2-||5m||2 + ||Am||2)
(17)