О некоторых классах решеточно-нормированных пространств

• Автор: Карабанов, Альберт Петрович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Глазов
• Количество страниц: 130 c. : ил

Глава I. НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ЛИНЕЙНЫХ РЕШЕТОК 10

§1. -линеалы с условием (о) и некоторые

их свойства

§2. Суммируемые семейства в Н -линеалах. 18

§3. Условно оЬ -полные линейные решетки... 25

§4. Решеточно-нормированные линейные пространства. 27-

Глава II. УСЛОВИЯ ПОЛНОТЫ РЕШЕТОЧНО-НОРМИРОВАННЫХ

ПРОСТРАНСТВ

§1. -полнота решеточно-нормированных

пространств

§2. Соотношения между некоторыми условиями

В -линеалах
§3. Условия полноты некоторого класса линейных
топологических решеток
§4. (вы) -полнота решеточно-нормированных
пространств
§5. Связь между (&к) -полнотой и (т)-полнотой.60
§6. Ну -пополнения решеточно-нормированных
линейных решеток
Глава III. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ПОЛНОТА РЕШЕТОЧНО-НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ
§1. Некоторые свойства интервально (&с) -полных решеточно-нормированных пространств
§2. Интервальная (&к1)-полнота решеточнонормированных пространств

§3. Некоторые свойства решеточно-нормированных
решеток с непрерывной решеточной нормой....82-
Глава IV. РЕАЛИЗАЦИЯ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ РЕШЕТ0ЧН0-НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ
§1. Решеточно-нормированные пространства алгебраически и решеточно изоморфные некоторому подпространству нормирующего К, -линеала
§2. Решеточно-нормированные пространства алгебраически изоморфные и решеточно изометричные подпространству
пространства Нд (Ч —'> 2)
§3. Решеточно-нормированные пространства изоморфные и решеточно изометричные подпространствам пространств
2®Ч, 2(4). 104
Глава V. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ОПЕРАТОРЫ
§1. Линейные операторы в векторных решетках 109
§2. Линейные операторы и функционалы в решеточно-норнормированных пространствах
Литература

В -В Е Д Е Н И Е
Теория решеточно-нормированных пространств является одной из ветвей функционального анализа, развитие которой началось в 30-х годах и тесно связано с работами Л.В.Канторовича [21]-[25] , Б.З.Вупиха [п] , С.Н.Спугина Об] , От] . Позднее решеточно-нормированные пространства изучали С.А.Скпяднев
[дз] _ 05] ,
А.В.Бухвалов [ю] , К.Э. Агаджанян [?,] , Р.Кристеску [34] ,
О.Я.Бендерский [55] и др. авторы.
Методы теории решеточно-нормированных пространств находят широкое применение в различных областях математики, например, к нахождению решений функциональных уравнений /см. [23] , [2ч
и операторных уравнений /см. [чб] - [50] /.
Для практических применений решеточно-нормированных пространств большое значение и жют пространства, названные Л.В.Канторовичем пространством типа В^ , а в нашей терминологии (&к] -полные пространства.
Основной за?!ачей настоящей диссертации является исследование воловий (вх'с) -, (в*.)- полноты и интервальной (&с) -полноты некоторых классов решеточно-нормированных пространств.
Диссертация состоит из 5 глав.
Первая Глава IIосвящена некоторым классам линейных решеток.
Ее результаты используются в других главах диссертации. Некоторые теоремы этой главы, в виду своей общности, представляют самостоятельный интерес.
В первом параграфе рассматриваются К, -линеалы с условием (с; . занимающие промежуточное место между произвольными -линеалами и 1-С -линеалами счетного типа. В общем случае не всякий -линеал обладает свойством (о). Приводится пример такого

§ 4. (&к) -ПОЛНОТА РИШОЧНО-НОРМИРОВАННЫК ПРОСТРАНСТВ
Пусть X ~ № -линеал и нормирующий X -линеал 2 почти регулярное X -пространство. Хорошо известно, что в почти регулярных X -пространствах (о) -сходимость равносильна (Ъ) -сходимости . Поэтов, если ? -почти регулярное X -пространство, то в X $ -линеале У понятия (&к) -полноты и -полноты
равносильны. Для таких пространств будут справедливы все теоремы, доказанные в § I гл. П, если л (въг ) " заменить на *. Будет
справедлива и теорема 1.4.3, если условие (Л^) заменить на условие (Я)
Будем теперь /без специальных на то оговорок/ считать, что 2? является регулярным X -пространством.
Введем обозначение
^ ((1Х<1 V /**/!'■•• / /Х^/)).
Будем говорить, что решеточная норма в X5 -линеале обладает
свойством (Ъ) , если
ос^ о ((Хп^ хп+, 7 . . -у ^ —;>
X 2?
при /г. -> оо /равномерно относительно /л, /*'.
ТЕОРЕМА П.4.1. Всякое //^5 -пространство X с условием / есть -полное, регулярное -пространство, и
¥г(&ъ.) -сходимость совпадает в нем с (м-) -сходимостью585^.
^ Для норшрованного случая условие (3) было рассмотрено в работе £зу
5Э5/ -сходимость означает С*-) сходимость по отношению К С&4с) -сходимости.