О некоторых финитных свойствах банаховых пространств

• Автор: Кадец, Владимир Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 98 c. : ил

§1. Общий обзор

§2. Обозначения и предварительные сведения

Глава I. Два результата из теории суперрефлексивных

пространств

§1. Двумерная универсальность пространств Банаха

§2. Устойчивость суперрефлексивности

Глава 2. Комплексно равномерно выпуклые

пространства

§1. Общие результаты. Комплексная равномерная выпуклость пространств Лебега - Бохнера

§2. Комплексная равномерная выпуклость и котип

§3. Комплексные деревья

Глава 3. В-выпуклые пространства Банаха
§1. Условно сходящиеся ряды в -выпуклом
пространстве
§2. Об условиях выпуклости множества пределов римановых сумм векторнозначной функции
Литература
§1. Общий обзор
Одна из самых важных задач, возникающих при изучении банахова пространства - это задача описания его подпространств. Такие классические результаты, как теорема об универсальности пространства С [О, I ] (см. [в], стр.25б), как критерий Р.К.Джеймса рефлексивности пространства с безусловным базисом (см. [зз] , стр. 234), как теорема о выделении базисной последовательности (см. [ЗЗ], стр. 4) являются теоремами о множестве подпространств банахова пространства. От того, каковы подпространства данного банахова пространства, зависят многие свойства этого пространства.
Самыми простыми банаховыми пространствами являются конечномерные нормированные пространства. Поэтому задача описания конечномерных подпространств банахова пространства возникает как естественный шаг при изучении свойств банахова пространства, и свойства, определяемые набором конечномерных подпространств банахова пространства, являются интересным объектом для изучения.
Теория финитных свойств банаховых пространств, то есть, свойств, определяемых конечномерными подпространствами,- это относительно новая область современного функционального анализа. Хотя эпизодически финитные свойства рассматривались ещё основоположниками теории банаховых пространств, в отдельную область функционального анализа теория финитных свойств выделилась лишь в начале семидесятых годов.
Наиболее известным финитным свойством является, пожалуй, введённая Дж.А.Кларксоном [14"] в 1936 году равномерная выпуклость. Равномерно выпуклые пространства с различных точек зрения исследовались в работах М.М.Дэя [15], [16], Г7], М.И.Ка-деца [4], [5], Р.К.Джеймса [25], В.К.Гурария [I], Б.Дж.Петтиса [36] и многих других авторов. Понятие равномерной выпуклости активно применяется в теории наилучших приближений, теории безусловно сходящихся рядов и в теории базисов в пространствах Банаха.
Дальнейшее развитие теории банаховых пространств привело к активному изучению таких финитных свойств, как суперрефлексивность, 3-выпуклость, наличие типа и котипа, )•{-выпуклость. Большая часть этих свойств ещё недостаточно исследована, и вся теория финитных свойств далека от завершения. В этой области работают такие известные математики, как Ж.Бургейн, Р.К.Джеймс,
С.В.Кисляков, И.Линденштраусс, Б.М.Макаров, А.Пелчинский, Ж.Пизье, С.Л.Троянски, П.Энфло. Особый интерес к финитным свойствам банаховых пространств вызываят обнаружившаяся в последнее десятилетие близость методов теории финитных СВОЙСТВ К метода!,1 теории вероятностей и теории функций комплексного переменного
Перейдём к обзору содержания диссертации. Диссертация состоит из трёх глав. В каждой главе изучается какое-то финитное свойство. В первой главе изучается суперрефлексивность, во второй - комплексная равномерная выпуклость, в третьей - В” выпуклость банахова пространства.
Понятие суперрефлексивности, которое является основным для первой главы настоящей диссертации, было введено и подробно

x(L,2>) = аДо,Г) + у(ОдУ ехр(/Л(одУ), х(ІД') - х(од) - ty(o,L) ■ ехрС і CO, D).
Такой граф назовём деревом длины І. Теперь выберем векторы
УИЛ), f(lДУуДід), fiw
и числа
и соединим каждую точку вида X ( L} К) отрезками с четырьмя точками:
х(2Дк-2Л = х(1,к) + ^Д,кУ) х(г,^-у = х(дУ}(д),
Х-Л, ^к-У) = х (. і, Д +
+ ЧС1,к) exp(t і(ідУ;
зч С M *Л = х с l ,ю- ч U д) ехр (6 і (і д)У
Граф такого вида назовём деревом длины 2. Определим дерево длины Vv, •+ 1 по индукции.
Пусть есть дерево длины Уг . Выберем векторы
уЫ, к) € X и числа g Lo, хЗ (Д 1 к - L^)
и соединим каждую точку вида х(п., ^ отрезками с четырьмя точками: