Типичные свойства абелевых групп преобразований с инвариантной мерой и спектральная дизъюнктность

• Автор: Тихонов, Сергей Викторович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с.

Часть 1. Типичные свойства действий групп II1 и

1. Всюду плотность семейств действий специального вида

2. Типичные свойства действий группы Т?

3. Свободные действия группы М!1

Часть 2. Типичные свойства действий дискретных абелевых групп

4. Типичные свойства действий группы Z0O

5. Типичные свойства действий групп <0^ и О00

6. Типичные свойства действий группы Оа

Часть 3. “Машина контрпримеров” Рудольфа, основанная на спектральной дизъюнктности

7. Общие сведения о перестановках конечных и счетных множеств

8. Централизаторы и факторы декартовых произведений

9. Аналоги примеров Рудольфа Библиографические примечания Предметный указатель
Список литературы

Ф Актуальность темы. Множество называется массивным, если оно является счетным пересечением всюду плотных б ^-множеств. Свойство А действий некоторой группы типично, если выполняется для массивного множества действий. Будем говорить ’’Для типичного действия выполняется свойство А если свойство А типично. Исследование типичных свойств групп преобразований началось с работ Халмоша [16] и Рохлина [46] ("Теоремы о категориях").
В работах Степина [52] появились «-перемешивающие преобразования, которые также типичны и обладают свойством сингулярности сверточных степеней их максимальных спектральных типов. В разные годы были получены типичность дизъюнктности преобразования своему обратному, дизъюнктно-сти всех степеней преобразования [7], типичность преобразования коммутирующего только с элементами слабого замыкания его степеней [18], типичность Z(i-действия, ненулевые элементы которого не сопряжены своим обратным [32]. В последнее время были получены результаты о том, что типичное преобразование имеет корни всех степеней [19], (более того, несчетное число корней всех степеней [34]) является расширением конечной абелевой группы, [33], вкладывается в поток [6], и более того в несчетное множество потоков [53].
В [26] Рудольф построил ’’машину контрпримеров”, которая позволяет получать преобразования с необычными свойствами. В своей конструкции он использовал декартовы произведения очень специфического преобразования и их композиции с перестановками координат. Всего Рудольф построил 9 примеров. Леманчик и дель Юнко [20] показали, что большинство примеров можно построить используя декартовы произведения степеней типичного преобразования. Они сообщили, что умеют строить 6 из 9 примеров. Используемое ими типичное свойство является обобщением спектральных свойств «-перемешивания.
Цель работы. Исследовать типичные действия абелевых групп и построить примеры необычных действий опираясь на взаимную дизъюнктность сверточных степеней максимального спектрального типа.

Научная новизна. Основные результаты диссертации новы и состоят в следующем:
(1) Получен ответ на вопрос де ла Рю и де Сем Лазаро о типичности Ъл-действия вкладываемого в свободное Ж'!-действие.
(2) Получены примеры действий абелевых групп с необычными свойствами, в частности, пары 2^-дсйствий, все элементы которых, соответствующие одному моменту времени эквивалентны, кроме двух.
(3) Доказана вполне сингулярность для типичных действий группы ТА.
Свободность здесь понимается в смысле [33], то есть действие свободно, если пс имеет двух одинаковых элементов.
Методы исследования. В работе используются спектральные и аппроксима-ционные методы.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть полезны специалистам в эргодической теории.
Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинарах по динамическим системам в МГУ в 2000-2003г.г.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех частей, библиографических примечаний и списка литературы.
Основное содержание диссертации. В первой части работы мы исследуем свойства семейств ^-действий, все образующие которых суть степени одного апериодического преобразования. Если такое семейство инвариантно относительно сопряжений счетным всюду плотным множеством преобразований, то оно само всюду плотно.
Во втором параграфе первой части устанавливаются типичные свойства действий группы 7$. Типичное ^-действие вкладывается в М^-действие, имеет несчетное число корней всех степеней, все ненулевые элементы его дизъюнктны своему обратному и коммутируют только с преобразованиями, лежащими в слабом замыкании его элементов.
массивно, поскольку представимо как счетное пересечение
П {а є | є М}
массивных множеств. □
Утверждение 3. Пусть М. некоторое наследственное свойство. Если множество преобразований Т таких, что для всех конечных I С Z набор преобразований {ТІ}ІЄІ удовлетворяет свойству М массивно, то множества
определенные для всякого конечного I всюду плотны; если кроме того они являются С$-множествами для I из счетного набора {!_,} :Ціі = Z00, то

множество
{/і Є | для всех конечных I С Z0O, {Л'}іеІ Є Лі}
массивно.
Доказательство. Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы. □
Ниже, для действия Л группы Z00 через Нх* мы будем обозначать действие группы Z Теорема 18. Множество 0х°° вполне сингулярных действий группы Z0O массивно.
Доказательство. Множество 0х°° представимо в виде
0х°° — Є К? | Усі є М, Нх<і Є 0х<*} •
Напомним, что множество Ох массивно по [20]. Поскольку
{/іЄ/С2”|УсіеН,^єд24